Задание №18 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} |x| + |y| = a \\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases}$$ Первое уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ задает на координатной плоскости семейство квадратов с центром в начале координат, диагонали которых лежат на осях $Ox$ и $Oy$. Раскроем модули для построения границ этой фигуры:
1) Если $x \geq 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = -x + a$;
2) Если $x \geq 0, y < 0$, то получаем прямую $y = x - a$;
3) Если $x < 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = x + a$;
4) Если $x < 0, y < 0$, то получаем прямую $y = -x - a$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x + 4}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-4; 0)$ и направленную вправо. Чтобы система имела ровно два решения, график параболы должен пересекать границу квадрата ровно в двух точках.
Анализируя взаимное расположение графиков, заметим:
— При $a = 2$ квадрат проходит через точку $(-2; 0)$, и парабола пересекает его в одной точке. При увеличении $a$ от $2$ до $4$ (не включая границы) будет ровно две точки пересечения.
— При $a = 4$ правая вершина квадрата совпадает с точкой $(4; 0)$, а левая — с $(-4; 0)$. В этом случае количество точек пересечения меняется.
— Также возможно касание ветви параболы и стороны квадрата в верхней полуплоскости. Найдем значение параметра для случая касания с прямой $y = x + a$:
$$\sqrt{x + 4} = x + a$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая область определения):
$$x + 4 = (x + a)^2$$ $$x + 4 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$$ Условием касания является равенство дискриминанта нулю:
$$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0$$ $$4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 0$$ $$-4a + 17 = 0 \Rightarrow a = \frac{17}{4} = 4,25$$ При данном значении параметра $a$ графики имеют общую точку касания, что дает нам еще одно изолированное решение задачи.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4,25\}$

Источник: ФИПИ