Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Раскроем модуль в уравнении $\left|x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a\right| = 2 x + 2 a$. Данное уравнение равносильно следующей системе условий:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = 2 x + 2 a \\ x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = - (2 x + 2 a) \end{matrix}\right. \\ 2 x + 2 a \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Преобразуем уравнения, перенеся все слагаемые в левую часть и сгруппировав их:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0 \\ x^{2} - 4 x + a^{2} - 2 a = 0 \end{matrix}\right. \\ x \geq - a \end{matrix}\right.$$
Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $a$, чтобы получить канонические уравнения окружностей:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} (x^{2} - 8 x + 16) + (a^{2} - 6 a + 9) = 25 \\ (x^{2} - 4 x + 4) + (a^{2} - 2 a + 1) = 5 \end{matrix}\right. \\ x + a \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Таким образом, задача сводится к исследованию совокупности двух окружностей в полуплоскости, заданной неравенством $x \geq - a$:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \left(x - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 5^2 \\ \left(x - 2\right)^{2} + \left(a - 1\right)^{2} = (\sqrt{5})^2 \end{matrix}\right. \\ x \geq - a \end{matrix}\right.$$

Определим точки, в которых первая окружность $\left(x - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25$ пересекается с граничной прямой $x = - a$. Подставим $-a$ вместо $x$:
$\left(- a - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25$
$a^{2} + 8 a + 16 + a^{2} - 6 a + 9 = 25$
$2 a^{2} + 2 a = 0 \Rightarrow a(a + 1) = 0$.
Получаем два значения параметра: $a = 0$ (тогда $x = 0$) и $a = - 1$ (тогда $x = 1$).
Аналогично найдем точки пересечения для второй окружности $\left(x - 2\right)^{2} + \left(a - 1\right)^{2} = 5$ с прямой $x = - a$:
$(-a - 2)^{2} + (a - 1)^{2} = 5$
$a^{2} + 4 a + 4 + a^{2} - 2 a + 1 = 5$
$2 a^{2} + 2 a = 0$.
Корни те же:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a = 0 \\ x = 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a = - 1 \\ x = 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Рассматривая экстремальные значения параметра для данных окружностей (точки касания горизонтальных прямых), находим границы интервалов. В нижней точке для меньшей окружности имеем $a = 1 - \sqrt{5}$, а в верхней точке для большей окружности $a = 3 + 5$ (не подходит по условию области) или для меньшей окружности $a = 1 + \sqrt{5}$. Анализируя график и количество решений, получаем искомые промежутки.

Ответ: $\left(1 - \sqrt{5}; - 1\right) \cup \left(0; 1 + \sqrt{5}\right)$

Источник: ФИПИ