Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} x^{4} - y^{4} = 12 a - 28 \\ x^{2} + y^{2} = a \end{matrix}\right.$
Из второго уравнения сразу следует, что параметр $a$ должен быть строго положителен ($a > 0$), так как сумма квадратов переменных $x^2 + y^2$ не может быть отрицательной, а при $a = 0$ графиком будет единственная точка $(0;0)$, что не обеспечит нужное количество решений.
Разложим левую часть первого уравнения как разность квадратов:
$\left\{\begin{matrix} (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 12 a - 28 \\ x^2 + y^2 = a \end{matrix}\right.$
Подставим $a$ вместо выражения $(x^2 + y^2)$ в первое уравнение:
$\left\{\begin{matrix} (x^2 - y^2) \cdot a = 12 a - 28 \\ x^2 + y^2 = a \end{matrix}\right.$
Разделив первое уравнение на $a$ (так как $a \neq 0$), получим систему относительно $x^2$ и $y^2$:
$\left\{\begin{matrix} x^2 - y^2 = 12 - \frac{28}{a} \\ x^2 + y^2 = a \end{matrix}\right.$
Складывая и вычитая уравнения системы, выразим квадраты переменных:
$\left\{\begin{matrix} 2 x^{2} = a + 12 - \frac{28}{a} \\ 2 y^{2} = a - (12 - \frac{28}{a}) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2 x^{2} = a + 12 - \frac{28}{a} \\ 2 y^{2} = a - 12 + \frac{28}{a} \end{matrix}\right.$
Для того чтобы система имела ровно четыре различных решения вида $(\pm x; \pm y)$, необходимо и достаточно, чтобы правые части обоих уравнений были строго больше нуля (тогда для $x$ и для $y$ мы получим по два ненулевых значения).
Сформируем условия на параметр:
$\left\{\begin{matrix} a > 0 \\ a + 12 - \frac{28}{a} > 0 \\ a - 12 + \frac{28}{a} > 0 \end{matrix}\right.$
Умножим неравенства на $a > 0$ и перейдем к квадратным трехчленам:
$\left\{\begin{matrix} a > 0 \\ a^2 + 12a - 28 > 0 \quad (1) \\ a^2 - 12a + 28 > 0 \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим неравенство (1):
Корни уравнения $a^2 + 12a - 28 = 0$ равны $a = -14$ и $a = 2$. Следовательно, решением неравенства с учетом $a > 0$ будет интервал $a \in (2; +\infty)$.
Решим неравенство (2):
Для уравнения $a^2 - 12a + 28 = 0$ найдем дискриминант:
$D = 144 - 4 \cdot 28 = 144 - 112 = 32$.
Находим корни:
$a_{1} = \frac{12 + \sqrt{32}}{2} = \frac{12 + 4 \sqrt{2}}{2} = 6 + 2 \sqrt{2}$
$a_{2} = \frac{12 - \sqrt{32}}{2} = \frac{12 - 4 \sqrt{2}}{2} = 6 - 2 \sqrt{2}$
Решением второго неравенства является множество $a \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{2}) \cup (6 + 2\sqrt{2}; +\infty)$.
Пересекая полученные результаты, находим искомую область значений параметра $a$:

Ответ: $\left(2 ; 6 - 2 \sqrt{2}\right) \cup \left(6 + 2 \sqrt{2} ; + \infty\right)$

Источник: ФИПИ