Задание №18 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} \log _{3} \left(16 - y^{2}\right) = \log _{3} \left(16 - a^{2} x^{2}\right) \\ x^{2} + y^{2} = 8 x + 4 y \end{matrix}\right.$$ Перейдем к равносильной системе, учитывая область определения логарифма и потенцируя первое уравнение: $$\left\{\begin{matrix} 16 - y^{2} > 0 \\ 16 - y^{2} = 16 - a^{2} x^{2} \\ x^{2} - 8 x + y^{2} - 4 y = 0 \end{matrix}\right.$$ Упростим полученные выражения. Из первого неравенства следует ограничение для $y$, второе уравнение разложим на множители, а в третьем выделим полные квадраты: $$\left\{\begin{matrix} - 4 < y < 4 \\ y^{2} = a^{2} x^{2} \\ (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 20 \end{matrix}\right.$$ Таким образом, условие $y^2 = a^2 x^2$ распадается на две прямые $y = ax$ и $y = -ax$, а второе уравнение описывает окружность с центром в точке $(4; 2)$ и радиусом $\sqrt{20}$.
Проверим точки пересечения окружности с осями координат. Если $y = 0$, то: $$x^{2} - 8x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 8$$
Система принимает вид: $$\left\{\begin{matrix} - 4 < y < 4 \\ \left[ \begin{smallmatrix} y = ax \\ y = -ax \end{smallmatrix} \right. \\ (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 20 \end{matrix}\right.$$ При $x = 0$ получаем значения $y$: $$y^{2} - 4y = 0 \Rightarrow y = 0 \text{ или } y = 4$$ Определим значения параметра $a$, соответствующие граничным точкам и особым положениям прямых.
1) Прямые проходят через точку $(8; 4)$: $$\left[ \begin{matrix} 4 = 8a \\ 4 = -8a \end{matrix} \right. \Rightarrow a = \pm \frac{1}{2}$$ 2) Рассмотрим случай касания прямой и окружности. В точке касания радиус, проведенный из центра $(4; 2)$, перпендикулярен касательной. Прямая, на которой лежит этот радиус и проходящая через начало координат, имеет вид $y = \frac{1}{2}x$. Условие перпендикулярности прямых $y = k_1x$ и $y = k_2x$ записывается как $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Для прямой $y = ax$: $a \cdot \frac{1}{2} = -1 \Rightarrow a = -2$.
Для прямой $y = -ax$: $-a \cdot \frac{1}{2} = -1 \Rightarrow a = 2$.
3) Если прямая совпадает с осью абсцисс, то $a = 0$.
Анализируя количество точек пересечения графиков с учетом ограничения $-4 < y < 4$, получаем искомые интервалы.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; -1/2] \cup \{0\} \cup [1/2; 2) \cup (2; +\infty)$

Источник: ФИПИ