Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Рассмотрим уравнение $\ln(4x - 1) \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии соблюдения области определения. Перейдем к равносильной системе:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \ln(4x - 1) = 0 \\ \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0 \end{matrix}\right. \\ 4x - 1 > 0 \\ x^2 - 6x + 6a - a^2 \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Преобразуем уравнения и условия:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} 4x - 1 = 1 \\ x^2 - a^2 - 6x + 6a = 0 \end{matrix}\right. \\ x > \frac{1}{4} \\ (x - a)(x + a) - 6(x - a) \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Разложим на множители выражение во второй строке:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ (x - a)(x + a - 6) = 0 \end{matrix}\right. \\ x > \frac{1}{4} \\ (x - a)(x + a - 6) \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Отсюда получаем три потенциальных корня: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = a$ и $x_3 = 6 - a$. Проанализируем условия существования каждого из них.

1) Для $x_1 = \frac{1}{2}$: Корень существует, если выполнены условия $x_1 > \frac{1}{4}$ (верно) и подкоренное выражение неотрицательно: $$\frac{1}{4} - 3 + 6a - a^2 \geq 0 \Rightarrow 4a^2 - 24a + 11 \leq 0$$ Решая квадратное неравенство через дискриминант $D = 576 - 176 = 400$, находим корни $a = \frac{1}{2}$ и $a = 5{,}5$. Следовательно, $x_1$ является решением при $a \in [0{,}5; 5{,}5]$.

2) Для $x_2 = a$: Должны выполняться условия $a > \frac{1}{4}$ и $(a - a)(a + a - 6) \geq 0$. Второе условие $0 \geq 0$ выполняется всегда. Таким образом, $x_2$ является корнем при $a > \frac{1}{4}$. (С учетом области $x \leq 3$ для данной ветви, получаем $a \in (\frac{1}{4}; 3]$).

3) Для $x_3 = 6 - a$: Проверим условия: $6 - a > \frac{1}{4} \Rightarrow a < 5{,}75$ и $(6 - a - a)(6 - a + a - 6) \geq 0 \Rightarrow 0 \geq 0$. Также должно соблюдаться условие $x \leq 3$, то есть $6 - a \leq 3 \Rightarrow a \geq 3$. Значит, $x_3$ является корнем при $a \in [3; 5{,}75)$.

Найдем значения параметра, при которых корни совпадают:
- $x_1 = x_2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$;
- $x_2 = x_3 \Rightarrow a = 6 - a \Rightarrow a = 3$;
- $x_1 = x_3 \Rightarrow \frac{1}{2} = 6 - a \Rightarrow a = 5{,}5$.

Используя полученные данные, проанализируем количество решений на координатной плоскости:

Уравнение имеет ровно один корень в следующих случаях: когда $a$ находится в интервале $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$, либо когда $a$ находится в промежутке $[5{,}5; 5{,}75)$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}] \cup [5{,}5; 5{,}75)$

Источник: ФИПИ