Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 \left|x\right| = 0$
имеет четыре различных корня.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
$a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 \left|x\right| = 0$
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 3 x - 9 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a - 6 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right ( 1 ) \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 12 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right ( 2 ) \end{matrix}\right.$
$\left(1\right) a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a - 6 x = 0 ; D > 0$
$a^{2} - ax - 6 a - 6 x - 2 x^{2} = 0$
$a^{2} - \left(x + 6\right) a - 6 x - 2 x^{2} = 0$
$D = \left(x + 6\right)^{2} - 4 \cdot \left(- 6 x - 2 x^{2}\right) =$ $x^{2} + 12 x + 36 + 24 x + 8 x^{2} =$ $9 x^{2} + 36 x + 36 = \left(3 x + 6\right)^{2}$
$a_{1} = \frac{x + \cancel{6} - 3 x - \cancel{6}}{2} = \frac{x - 3 x}{2} = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x$
$a_{2} = \frac{x + 6 + 3 x + 6}{2} = \frac{4 x + 12}{2} = 2 x + 6$
$\left(2\right) a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 12 x = 0 ; D > 0$
$a^{2} - ax - 6 a - 2 x + 12 x = 0$
$a^{2} - \left(x + 6\right) a - 2 x^{2} + 12 x = 0$
$D = \left(x + 6\right)^{2} - 4 \cdot \left(- 2 x^{2} + 12 x\right) =$ $x^{2} + 21 x + 36 + 8 x^{2} - 48 x =$ $9 x^{2} - 36 x + 36 = \left(3 x - 6\right)^{2}$
$a_{1} = \frac{x + 6 - 3 x + 6}{2} = \frac{- 2 x + 12}{2} = 6 - x$
$a_{2} = \frac{x + 6 + 3 x - 6}{2} = \frac{4 x}{2} = 2 x$
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ \left[\begin{matrix} \begin{matrix}a = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x \\ a = 2 x + 6\end{matrix} \end{matrix}\right.\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ \left[\begin{matrix} \begin{matrix}a = 6 - x \\ a = 2 x\end{matrix} \end{matrix}\right.\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$a \in \left(\left(1\right) ; \left(2\right)\right) \cup \left(\left(2\right) ; \left(3\right)\right) \cup \left(\left(3\right) ; \left(4\right)\right)$
$a = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x$

x	-2	0
a	2	0

$a = 2 x + 6$

x	0	-1
a	6	4

$a = 6 - x$

x	1	2
a	5	4

$a = 2 x$

x	0	1
a	0	2

Ответ: $\left(0 ; 2\right) \cup \left(2 ; 4\right) \cup \left(4 ; 6\right)$

Источник: ФИПИ