Задание №18 — Неравенства с параметром

Решение:
Для начала преобразуем исходную систему неравенств к виду, удобному для графического анализа в координатах $(x; a)$:
$\left\{\begin{matrix} x \leq 2 a + 6 \\ 6 x \geq x^{2} + a^{2} \\ x + a > 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 a \geq x - 6 \\ a^{2} + x^{2} - 6 x \leq 0 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Выделим полный квадрат во втором неравенстве, чтобы получить уравнение круга:
$\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ a^{2} + (x^2 - 6 x + 9) \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ (x - 3)^{2} + a^{2} \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Построим граничные линии. Первая граница — прямая $a = \frac{1}{2} x - 3$. Проверим несколько точек для её построения:

Второе условие задает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$. Третье условие — открытая полуплоскость выше прямой $a = -x$.

Определим значение параметра $a$ для граничных случаев. Рассмотрим ситуацию при $x = 2$:
Подставим это значение во второе неравенство (границу круга):
$6 \cdot 2 \geq 2^{2} + a^{2} \Rightarrow 12 \geq 4 + a^{2} \Rightarrow a^{2} \leq 8$.
Отсюда получаем интервал $a \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$. С учетом всех ограничений системы, верхняя граница искомого диапазона соответствует значению $a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
Анализируя область пересечения всех условий на графике, получаем искомый промежуток для параметра.

Ответ: $(-2; 2\sqrt{2}]$

Источник: ФИПИ