Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Неравенства с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} x \leq 2 a + 6 , \\ 6 x \geq x^{2} + a^{2} , \\ x + a > 0 \end{matrix}\right.$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[1 ; 2\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Для начала преобразуем исходную систему неравенств к виду, удобному для графического анализа в координатах $(x; a)$ :
$\left\{\begin{matrix} x \leq 2 a + 6 \\ 6 x \geq x^{2} + a^{2} \\ x + a > 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 a \geq x - 6 \\ a^{2} + x^{2} - 6 x \leq 0 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Выделим полный квадрат во втором неравенстве, чтобы получить уравнение круга:
$\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ a^{2} + (x^2 - 6 x + 9) \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ (x - 3)^{2} + a^{2} \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Построим граничные линии. Первая граница — прямая $a = \frac{1}{2} x - 3$ . Проверим несколько точек для её построения:

x	2	0
a	-2	-3

Второе условие задает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$ . Третье условие — открытая полуплоскость выше прямой $a = -x$ .

Определим значение параметра $a$ для граничных случаев. Рассмотрим ситуацию при $x = 2$ :
Подставим это значение во второе неравенство (границу круга):
$6 \cdot 2 \geq 2^{2} + a^{2} \Rightarrow 12 \geq 4 + a^{2} \Rightarrow a^{2} \leq 8$ .
Отсюда получаем интервал $a \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$ . С учетом всех ограничений системы, верхняя граница искомого диапазона соответствует значению $a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Анализируя область пересечения всех условий на графике, получаем искомый промежуток для параметра.

Ответ: $(-2; 2\sqrt{2}]$

Источник: ФИПИ