Задание №18 — Неравенства с параметром

Разбор задачи:
Рассмотрим систему неравенств:
$\left\{\begin{matrix} ax \geq 2 & (1) \\ \sqrt{x - 1} > a & (2) \\ 3x \leq 2a + 11 & (3) \end{matrix}\right.$

Преобразуем первое условие к виду $a \geq \frac{2}{x}$ (при $x > 0$). Составим таблицу контрольных точек для построения границы этой области:

Для второго неравенства $a < \sqrt{x - 1}$ воспользуемся графиком функции $a = \sqrt{x}$, сместив его вдоль оси абсцисс на единицу вправо. Искомая область лежит ниже этой кривой.

Третье неравенство перепишем относительно параметра: $2a \geq 3x - 11$, что эквивалентно $a \geq 1,5x - 5,5$. Построим соответствующую прямую по точкам:

Проанализируем пересечение полученных областей. Определим значение параметра в граничной точке при $x = 4$, подставив его во второе выражение:
$\sqrt{4 - 1} > a \Rightarrow a < \sqrt{3}$.

С учетом всех ограничений системы, получаем искомый промежуток для параметра $a$.

Ответ: $[\frac{1}{2}; \sqrt{3})$

Источник: ФИПИ