Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Неравенства с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} ax \geq 2 , \\ \sqrt{x - 1} > a , \\ 3 x \leq 2 a + 11 \end{matrix}\right.$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[3 ; 4\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Разбор задачи:
Рассмотрим систему неравенств:
$\left\{\begin{matrix} ax \geq 2 & (1) \\ \sqrt{x - 1} > a & (2) \\ 3x \leq 2a + 11 & (3) \end{matrix}\right.$

Преобразуем первое условие к виду $a \geq \frac{2}{x}$ (при $x > 0$ ). Составим таблицу контрольных точек для построения границы этой области:

x	1	-1	2	-2	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
a	2	-2	1	-1	4	-4

Для второго неравенства $a < \sqrt{x - 1}$ воспользуемся графиком функции $a = \sqrt{x}$ , сместив его вдоль оси абсцисс на единицу вправо. Искомая область лежит ниже этой кривой.

Третье неравенство перепишем относительно параметра: $2a \geq 3x - 11$ , что эквивалентно $a \geq 1,5x - 5,5$ . Построим соответствующую прямую по точкам:

x	0	1	4
a	$-5,5$	$-4$	$0,5$

Проанализируем пересечение полученных областей. Определим значение параметра в граничной точке при $x = 4$ , подставив его во второе выражение:
$\sqrt{4 - 1} > a \Rightarrow a < \sqrt{3}$ .

С учетом всех ограничений системы, получаем искомый промежуток для параметра $a$ .

Ответ: $[\frac{1}{2}; \sqrt{3})$

Источник: ФИПИ