Задание №18 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} (xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0 \\ y = 3x + a \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на совокупность при условии, что выражение под корнем не отрицательно:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} xy - 2x + 12 = 0 \\ y - 2x + 12 = 0 \end{matrix}\right. \\ y = 3x + a \\ y - 2x + 12 \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем условия, выразив $y$ там, где это удобно, и определив область допустимых значений:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} y = 2 - \frac{12}{x} \\ y = 2x - 12 \end{matrix}\right. \\ y = 3x + a \\ y \geq 2x - 12 \end{matrix}\right.$
Построим графики функций, ограничивая их полуплоскостью $y \geq 2x - 12$.

Для гиперболы $(1) y = 2 - \frac{12}{x}$ составим таблицу опорных точек:

Для прямой $(2) y = 2x - 12$ также определим несколько точек:

Проанализируем количество решений системы в зависимости от параметра $a$, который отвечает за сдвиг прямой $y = 3x + a$.
Сначала найдем значение $a$, при котором прямая проходит через точку пересечения графиков $(6; 0)$:
$0 = 3 \cdot 6 + a \Rightarrow a = -18$.
Далее определим моменты касания прямой $y = 3x + a$ и гиперболы $y = 2 - \frac{12}{x}$:
$3x + a = 2 - \frac{12}{x}$
Умножим на $x$ (при $x \neq 0$) и приведем к квадратному виду:
$3x^2 + ax = 2x - 12 \Rightarrow 3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$.
Условие касания — равенство дискриминанта нулю:
$D = (a - 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = a^2 - 4a + 4 - 144 = a^2 - 4a - 140$.
Решим уравнение $a^2 - 4a - 140 = 0$:
По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $a_1 = -10$ и $a_2 = 14$.
Эти значения соответствуют положениям прямой, когда она касается ветвей гиперболы.

Ответ: $(-18; -10) \cup (14; +\infty)$

Источник: ФИПИ