Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\begin{cases} 4x - y + a = 0 \\ 2|y| - x^2 + 4x = 0 \end{cases}$
Выразим переменную $y$ из первого уравнения и преобразуем второе:
$\begin{cases} y = 4x + a \\ |y| = \frac{1}{2}x^2 - 2x \end{cases}$
Второе уравнение задает геометрическое место точек, которое можно представить в виде совокупности двух функций в зависимости от знака $y$:
$\begin{cases} y = 4x + a \\ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y \ge 0 \\ y = \frac{1}{2}x^2 - 2x \end{cases} \\ &\begin{cases} y < 0 \\ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x \end{cases} \end{aligned} \right. \end{cases}$
Проанализируем графики полученных функций.
Для первой параболы $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ (при $y \ge 0$):
Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{2}{2 \cdot 0,5} = 2$.
Ордината вершины: $y_0(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 = -2$.
Для второй параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$ (при $y < 0$):
Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-0,5)} = 2$.
Ордината вершины: $y_0(2) = -2 + 4 = 2$.

Определим точки пересечения графиков с осью $Ox$:
$\frac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$.
Корни: $x = 0$ и $x = 4$.
Система будет иметь три решения в граничных случаях касания или прохождения прямой $y = 4x + a$ через характерные точки.
1) Случай касания прямой и «верхней» части графика (ветви параболы $y = -0,5x^2 + 2x$):
$-0,5x^2 + 2x = 4x + a \Rightarrow -x^2 + 4x = 8x + 2a \Rightarrow x^2 + 4x + 2a = 0$.
Условие касания — равенство дискриминанта нулю:
$D = 16 - 8a = 0 \Rightarrow a = 2$.
2) Прохождение прямой через начало координат $(0; 0)$:
$0 = 4 \cdot 0 + a \Rightarrow a = 0$.
3) Прохождение прямой через точку $(4; 0)$:
$0 = 4 \cdot 4 + a \Rightarrow a = -16$.
4) Случай касания прямой и «нижней» части графика (ветви параболы $y = 0,5x^2 - 2x$):
$0,5x^2 - 2x = 4x + a \Rightarrow x^2 - 4x = 8x + 2a \Rightarrow x^2 - 12x - 2a = 0$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$D = 144 + 8a = 0 \Rightarrow 8a = -144 \Rightarrow a = -18$.
Анализируя взаимное расположение прямой и кривых, получаем искомые интервалы для параметра.

Ответ: $(-\infty; -18) \cup (-16; 0) \cup (2; +\infty)$

Источник: ФИПИ