Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $x^{2} + a^{2} + x - 7 a = \left|7 x + a\right|$.
Для раскрытия модуля разберем два возможных случая.

1) Если подмодульное выражение неотрицательно ($7x + a \geq 0$), уравнение принимает вид:
$x^{2} + a^{2} + x - 7 a = 7 x + a$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$x^{2} - 6 x + a^{2} - 8 a = 0$
Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $a$:
$(x^{2} - 6 x + 9) + (a^{2} - 8 a + 16) = 25$
Получаем уравнение окружности:
$\left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 5^{2}$

2) Если подмодульное выражение отрицательно ($7x + a < 0$), уравнение записывается так:
$x^{2} + a^{2} + x - 7 a = - (7 x + a)$
$x^{2} + a^{2} + x - 7 a = - 7 x - a$
Сгруппируем слагаемые:
$x^{2} + 8 x + a^{2} - 6 a = 0$
Дополним выражения до полных квадратов:
$(x^{2} + 8 x + 16) + (a^{2} - 6 a + 9) = 25$
Это уравнение второй окружности:
$\left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 5^{2}$

Проанализируем границы графиков, найдя точки пересечения первой окружности $\left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 25$ с прямой $a = -7x$:
$\left\{\begin{matrix} \left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 25 \\ a = - 7 x \end{matrix}\right.$
Подставим выражение для $a$ в уравнение окружности:
$\left(x - 3\right)^{2} + \left(- 7 x - 4\right)^{2} = 25$
Раскроем скобки:
$x^{2} - 6 x + 9 + 49 x^{2} + 56 x + 16 = 25$
$50 x^{2} + 50 x = 0$
$50 x \left(x + 1\right) = 0$
Корни уравнения: $x = 0$ и $x = - 1$.
Соответствующие значения параметра $a$:
При $x = 0 \Rightarrow a = 0$;
При $x = - 1 \Rightarrow a = 7$.

x	-1	0
a	7	0

Теперь определим точки пересечения второй окружности $\left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25$ с той же прямой $a = -7x$:
$\left\{\begin{matrix} \left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25 \\ a = - 7 x \end{matrix}\right.$
Выполним подстановку:
$\left(x + 4\right)^{2} + \left(- 7 x - 3\right)^{2} = 25$
$x^{2} + 8 x + 16 + 49 x^{2} + 42 x + 9 = 25$
$50 x^{2} + 50 x = 0$
Откуда получаем аналогичные абсциссы:
$x_{1} = 0 \Rightarrow a = 0$
$x_{2} = - 1 \Rightarrow a = 7$.
Таким образом, обе окружности стыкуются в точках $(0; 0)$ и $(-1; 7)$.

Ответ: $\left[- 1 ; 0\right] \cup \left[7 ; 8\right]$

Источник: ФИПИ