Решение:
Исходное уравнение имеет вид: $(5x - 2) \ln(x + a) = (5x - 2) \ln(2x - a)$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$(5x - 2) \cdot (\ln(x + a) - \ln(2x - a)) = 0$.
Данное уравнение равносильно совокупности при соблюдении условий области определения логарифмов:
$$\begin{cases} \left[ \begin{matrix} 5x - 2 = 0 \\ \ln(x + a) = \ln(2x - a) \end{matrix} \right. \\ x + a > 0 \\ 2x - a > 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения совокупности находим корень $x_1 = \frac{2}{5}$.
Второе уравнение $\ln(x + a) = \ln(2x - a)$ сводится к линейному: $x + a = 2x - a$, откуда получаем второй корень $x_2 = 2a$.
Выясним, при каких значениях параметра корни совпадают:
$2a = \frac{2}{5} \Rightarrow a = \frac{1}{5}$.
Теперь определим условия существования каждого корня с учетом ограничений $x \in [0; 1]$ и ОДЗ.
Для $x_1 = \frac{2}{5}$ должны выполняться неравенства:
$$\begin{cases} \frac{2}{5} + a > 0 \\ 2 \cdot \frac{2}{5} - a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > -\frac{2}{5} \\ a < \frac{4}{5} \end{cases}$$ Таким образом, первый корень подходит при $a \in \left(-\frac{2}{5}; \frac{4}{5}\right)$.
Для корня $x_2 = 2a$ с учетом условия $x \in [0; 1]$ и ОДЗ получаем систему:
$$\begin{cases} 0 \le 2a \le 1 \\ 2a + a > 0 \\ 2(2a) - a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 \le a \le \frac{1}{2} \\ 3a > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left(0; \frac{1}{2}\right]$$ Проанализируем количество решений в зависимости от $a$. Уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$, если либо существует только один из корней, либо они оба существуют, но принимают одинаковое значение.

Ответ: $\left( -\frac{2}{5}; 0 \right] \cup \left\{ \frac{1}{5} \right\} \cup \left( \frac{1}{2}; \frac{4}{5} \right)$

Источник: ФИПИ