Решение:
Рассмотрим уравнение $x^{4} + \left(a - 3\right)^{2} = \left|x - a + 3\right| + \left|x + a - 3\right|$.
Заметим, что функция в левой и правой частях уравнения является чётной, так как замена $x$ на $-x$ не меняет выражение: $f(x) = f(-x)$.
Следовательно, если уравнение имеет корень $x$, то и $-x$ также будет его корнем. Для единственности решения необходимо, чтобы $x = 0$.
Для удобства введём замену: пусть $b = a - 3$.
Тогда уравнение примет вид: $x^{4} + b^{2} = \left|x - b\right| + \left|x + b\right|$.
Подставим $x = 0$, чтобы найти критические значения параметра:
$b^{2} = \left|- b\right| + \left|b\right| \Rightarrow b^{2} = 2 \left|b\right| \Rightarrow b^{2} - 2 \left|b\right| = 0$.
Раскроем модуль:
1) При $b \geq 0$: $b^{2} - 2b = 0 \Rightarrow b(b - 2) = 0$, откуда $b = 0$ или $b = 2$.
2) При $b < 0$: $b^{2} + 2b = 0 \Rightarrow b(b + 2) = 0$, откуда $b = 0$ или $b = -2$.
Проверим полученные значения.
Если $b = 0$:
$x^{4} = \left|x\right| + \left|x\right| \Rightarrow x^{4} = 2 \left|x\right| \Rightarrow x^{4} - 2 \left|x\right| = 0$.
Для $x \geq 0$: $x(x^{3} - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = \sqrt[3]{2}$.
Для $x < 0$: $x(x^{3} + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -\sqrt[3]{2}$.
В этом случае имеем три различных корня, значит, $b = 0$ не удовлетворяет условию единственности.
Проверим $b = 2$: $x^{4} + 4 = \left|x - 2\right| + \left|x + 2\right|$.

Интервалы для $x$	$(-\infty; -2)$	$[-2; 2)$	$[2; +\infty)$
Знак $x - 2$	-	-	+
Знак $x + 2$	-	+	+

Раскроем модули на промежутках:
Если $x < -2$: $x^{4} + 4 = -(x - 2) - (x + 2) \Rightarrow x^{4} + 4 = -2x \Rightarrow x^{4} = -2x - 4$.
Исследуем систему уравнений: $\begin{cases} y = x^{4} \\ y = -2x - 4 \end{cases}$

x	-2	-3
y (прямая)	0	2

На данном луче графики не пересекаются, решений нет.
Если $-2 \leq x < 2$: $x^{4} + 4 = -(x - 2) + (x + 2) \Rightarrow x^{4} + 4 = 4 \Rightarrow x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$. Единственный корень.
Если $x \geq 2$: $x^{4} + 4 = (x - 2) + (x + 2) \Rightarrow x^{4} + 4 = 2x \Rightarrow x^{4} = 2x - 4$.
Рассмотрим функции: $\begin{cases} y = x^{4} \\ y = 2x - 4 \end{cases}$

x	2	3
y (прямая)	0	2

Здесь также нет точек пересечения. Таким образом, при $b = 2$ корень $x = 0$ единственный.
При $b = -2$ уравнение $x^{4} + 4 = \left|x + 2\right| + \left|x - 2\right|$ полностью совпадает с предыдущим случаем, следовательно, $b = -2$ тоже подходит.
Проанализируем случай $|b| > 2$:
1) При $x \geq |b|$: $x^{4} + b^{2} = 2x$. Так как $b^{2} > 4$, а $x^{4} \geq 16$, левая часть растет значительно быстрее правой.

Решений нет.
2) При $x < -|b|$: $x^{4} + b^{2} = -2x$. Аналогично, из-за быстрого роста четной степени решений не будет.
В интервале $-|b| \leq x \leq |b|$ уравнение превращается в $x^4 + b^2 = 2|b|$. Единственное решение $x=0$ будет только если $b^2 = 2|b|$, что соответствует $|b|=2$. Если же $|b| > 2$, то $b^2 > 2|b|$, и уравнение $x^4 = 2|b| - b^2$ не имеет действительных корней (так как правая часть отрицательна).
Если $0 < |b| < 2$, то $b^2 < 2|b|$, и уравнение $x^4 = 2|b| - b^2$ будет иметь два ненулевых корня, что нам не подходит.
Таким образом, условие выполняется при $|b| \geq 2$, то есть $b \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Вернемся к переменной $a$:
$\left[\begin{matrix} a - 3 \leq -2 \\ a - 3 \geq 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a \leq 1 \\ a \geq 5 \end{matrix}\right.$

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$

Источник: ФИПИ