Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \left(x^{2} + y^{2} + 4 x\right) \cdot \sqrt{2 x + y + 6} = 0 \\ y = x + a \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на совокупность при условии соблюдения области определения (под коренное выражение должно быть неотрицательным):
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} + 4 x + y^{2} = 0 \\ 2 x + y + 6 = 0 \end{matrix}\right. \\ y = x + a \\ 2 x + y + 6 \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнение окружности, выделив полный квадрат, и выразим $y$ из условия для корня:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} (x + 2)^{2} + y^{2} = 4 \\ y = - 2 x - 6 \end{matrix}\right. \\ y = x + a \\ y \geq - 2 x - 6 \end{matrix}\right.$
Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение — это прямая $y = -2x - 6$. Условие $y \geq -2x - 6$ задает полуплоскость выше этой прямой.

Для построения прямой $y = -2x - 6$ воспользуемся контрольными точками:

x	0	-2
y	-6	-2

Проанализируем количество решений в зависимости от параметра $a$, который отвечает за сдвиг прямой $y = x + a$.
1. Найдем значение $a$, при котором прямая $y = x + a$ (или $x - y + a = 0$) касается окружности в нижней части. Используем формулу расстояния от центра $(-2; 0)$ до прямой, которое должно быть равно радиусу $2$:
$2 = \frac{\left|1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0 + a\right|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}}$
$\left|a - 2\right| = 2 \sqrt{2}$
Отсюда получаем два значения:
$a - 2 = 2 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{2} + 2$
$a - 2 = - 2 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 - 2 \sqrt{2}$
Значение $a = 2 - 2 \sqrt{2}$ соответствует первому случаю касания, а $a = 2 \sqrt{2} + 2$ — четвертому (верхнему) случаю касания.

2. Определим точки пересечения окружности $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ и граничной прямой $y = -2x - 6$:
$(x + 2)^{2} + (-2x - 6)^{2} = 4$
$x^{2} + 4x + 4 + 4x^{2} + 24x + 36 = 4$
$5x^{2} + 28x + 36 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = 28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 784 - 720 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-28 + 8}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-28 - 8}{10} = -3,6$
Соответствующие значения $y$:
Для $x = -2$: $y = -2(-2) - 6 = -2$.
Для $x = -3,6$: $y = -2(-3,6) - 6 = 1,2$.
Теперь найдем значения параметра $a$ для этих точек, подставив их в $y = x + a$:
Для точки $(-2; -2)$: $-2 = -2 + a \Rightarrow a = 0$.
Для точки $(-3,6; 1,2)$: $1,2 = -3,6 + a \Rightarrow a = 4,8$.

Объединяя полученные результаты и учитывая область допустимых значений (часть окружности, лежащую выше прямой), получаем искомые значения параметра.

Ответ: $\{2 - 2 \sqrt{2}\} \cup [0; 4,8] \cup \{2 \sqrt{2} + 2\}$

Источник: ФИПИ