Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
Рассмотрим уравнение $\left|x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a\right| = 2 x - 2 a$.
Для того чтобы уравнение имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной:
$2 x - 2 a \geq 0 \Rightarrow a \leq x$.
Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:
1) Подмодульное выражение положительно или равно нулю:
$x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a = 2 x - 2 a$
Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
$x^{2} - 8 x + a^{2} + 6 a = 0$
Дополним выражения до полных квадратов, прибавив к обеим частям $16 + 9 = 25$:
$(x^{2} - 8 x + 16) + (a^{2} + 6 a + 9) = 25$
$\left(x - 4\right)^{2} + \left(a + 3\right)^{2} = 5^{2}$
Это уравнение окружности с центром в точке $(4; -3)$ и радиусом $5$.
2) Подмодульное выражение отрицательно:
$x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a = -(2 x - 2 a)$
$x^{2} - 4 x + a^{2} + 2 a = 0$
Аналогично выделим полные квадраты, прибавив $4 + 1 = 5$:
$(x^{2} - 4 x + 4) + (a^{2} + 2 a + 1) = 5$
$\left(x - 2\right)^{2} + \left(a + 1\right)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$
Это уравнение окружности с центром $(2; -1)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Определим координаты точек, в которых окружность $\left(x - 2\right)^{2} + \left(a + 1\right)^{2} = 5$ пересекается с граничной прямой $a = x$:
$\left(x - 2\right)^{2} + \left(x + 1\right)^{2} = 5$
$x^{2} - 4 x + 4 + x^{2} + 2 x + 1 = 5$
$2 x^{2} - 2 x = 0$
Отсюда получаем корни $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 1$. Соответственно, значения параметра $a_{1} = 0$ и $a_{2} = 1$.
Анализируя график с учетом условия $a \leq x$, определим характерные значения параметра $a$:
Для второго случая (нижняя точка малой окружности): $a = - 1 - \sqrt{5}$.
Для пятого случая (верхняя точка малой окружности): $a = \sqrt{5} - 1$.
Исходя из графического представления, искомые интервалы для параметра $a$ соответствуют объединению промежутков: $a \in \left(-5 ; - \sqrt{5} - 1\right) \cup \left(0 ; 1\right) \cup \left(\sqrt{5} - 1 ; 5\right)$.

Ответ: $\left(- 5 ; - \sqrt{5} - 1\right) \cup \left(0 ; 1\right) \cup \left(\sqrt{5} - 1 ; 5\right)$

Источник: ФИПИ