Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} (x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0 \\ y = a(x - 2) \end{cases}$$ Первое уравнение распадается на совокупность при условии существования квадратного корня: \begin{cases} \left[ \begin{matrix} x^2 + 4x + y^2 = 0 \\ 2x + y + 6 = 0 \end{matrix} \right. \\ y \geq -2x - 6 \\ y = a(x - 2) \end{matrix} \right. Преобразуем уравнение окружности, выделив полный квадрат по переменной $x$: \begin{cases} \left[ \begin{matrix} (x + 2)^2 + y^2 = 2^2 \\ y = -2x - 6 \end{matrix} \right. \\ y \geq -2x - 6 \\ y = a(x - 2) \end{matrix} \right. Графиком первого уравнения является объединение окружности с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $2$, а также прямой $y = -2x - 6$. Условие $y \geq -2x - 6$ оставляет только те части графиков, которые лежат не ниже указанной прямой. Второе уравнение системы представляет собой пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $(2; 0)$ с угловым коэффициентом $a$.

Для построения прямой $y = -2x - 6$ воспользуемся таблицей значений:

Исходя из графической интерпретации, искомые значения параметра соответствуют случаям: $a \in \{(1)\} \cup [(2) ; (3)] \cup \{(4)\}$.

1) Определим значения $a$, при которых прямая $y = ax - 2a$ касается окружности. Воспользуемся формулой расстояния от центра окружности $(-2; 0)$ до прямой $ax - y - 2a = 0$, которое должно быть равно радиусу $R = 2$: $$2 = \frac{|a \cdot (-2) - 0 - 2a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}}$$ $$2 = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$$ Разделим на 2 и возведем в квадрат: $$4a^2 = a^2 + 1 \Rightarrow 3a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Для случая (1) прямая убывает, значит, $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Для случая (4) прямая возрастает, следовательно, $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Найдем точки пересечения окружности и прямой $y = -2x - 6$: $$(x + 2)^2 + (-2x - 6)^2 = 4$$ $$x^2 + 4x + 4 + 4x^2 + 24x + 36 = 4$$ $$5x^2 + 28x + 36 = 0$$ Вычислим дискриминант: $D = 28^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 784 - 720 = 64$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-28 + 8}{10} = -2; \quad x_2 = \frac{-28 - 8}{10} = -3,6$$ Соответствующие координаты $y$: При $x = -2$: $y = -2(-2) - 6 = -2$. При $x = -3,6$: $y = -2(-3,6) - 6 = 1,2$.

3) Вычислим значения параметра $a$ для этих точек:
Для точки $(-3,6; 1,2)$ (случай 2): $$1,2 = a(-3,6 - 2) \Rightarrow a = \frac{1,2}{-5,6} = -\frac{12}{56} = -\frac{3}{14}$$ Для точки $(-2; -2)$ (случай 3): $$-2 = a(-2 - 2) \Rightarrow a = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}\right\} \cup \left[-\frac{3}{14} ; \frac{1}{2}\right] \cup \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}$

Источник: ФИПИ