Задание №19 — Системы с параметром

Разбор задачи:
Рассмотрим исходную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} y = (a + 2)x^2 + 2ax + a - 2 \\ y^2 = x^2 \end{matrix}\right.$$ Второе уравнение системы легко раскладывается на множители: $y^2 - x^2 = 0 \Rightarrow (y - x)(y + x) = 0$. Это даёт нам две прямые: $y = x$ и $y = -x$. Таким образом, задача сводится к поиску точек пересечения параболы (или прямой при определённых $a$) с этими двумя линиями: $$\left[\begin{matrix} (a + 2)x^2 + 2ax + a - 2 = x \quad (1) \\ (a + 2)x^2 + 2ax + a - 2 = -x \quad (2) \end{matrix}\right.$$
Для того чтобы система имела ровно 4 различных решения, каждое из квадратных уравнений (1) и (2) должно обладать двумя уникальными корнями, которые не совпадают между собой.
Проанализируем первое уравнение: $$(a + 2)x^2 + (2a - 1)x + a - 2 = 0$$ Вычислим его дискриминант: $$D_1 = (2a - 1)^2 - 4(a + 2)(a - 2) = 4a^2 - 4a + 1 - 4(a^2 - 4) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 17 - 4a$$ Условие наличия двух корней: $D_1 > 0 \Rightarrow 17 - 4a > 0 \Rightarrow a < 4,25$.
Теперь рассмотрим второе уравнение: $$(a + 2)x^2 + (2a + 1)x + a - 2 = 0$$ Найдём его дискриминант: $$D_2 = (2a + 1)^2 - 4(a + 2)(a - 2) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 17 + 4a$$ Условие наличия двух корней: $D_2 > 0 \Rightarrow 17 + 4a > 0 \Rightarrow a > -4,25$.
Важно учесть вырожденный случай: если коэффициент при $x^2$ обнуляется, уравнение перестаёт быть квадратным. При $a + 2 = 0$ (то есть $a = -2$) мы не получим по два решения в каждой ветке, поэтому данное значение исключается.
Также необходимо исключить ситуацию, когда парабола проходит через точку пересечения прямых $y = x$ и $y = -x$, то есть через начало координат $(0; 0)$. В этом случае общее количество решений сократится до трёх. Подставим $x=0, y=0$ в уравнение параболы: $$0 = (a + 2) \cdot 0^2 + 2a \cdot 0 + a - 2 \Rightarrow a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$$ Следовательно, значение $a = 2$ нам не подходит.

Ответ: $\left(- \frac{17}{4}; -2\right) \cup (-2; 2) \cup \left(2; \frac{17}{4}\right)$

Источник: ФИПИ