Разбор задачи:
Исходная система неравенств имеет вид:
$\begin{cases} a(x - 1) \geq 4 \\ 2\sqrt{x - 2} \geq a \\ 3x < a + 14 \end{cases}$
Выразим параметр $a$ из каждого условия, учитывая область определения (так как из первого неравенства следует $x > 1$):
$\begin{cases} a \geq \frac{4}{x - 1} \\ a \leq 2\sqrt{x - 2} \\ a > 3x - 14 \end{cases}$

Для нахождения области решений в плоскости $(x; a)$ проанализируем границы каждой области:

1) Граница $a = \frac{4}{x - 1}$ представляет собой гиперболу $a = \frac{4}{x}$, смещенную вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо. Рассмотрим опорные точки для базовой гиперболы:

x	1	-1	2	-2	4	-4
a	4	-4	2	-2	1	-1

2) Граница $a = 2\sqrt{x - 2}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2; 0)$. Она получается сдвигом графика $a = 2\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо:

x	0	4	9
a	0	4	6

3) Граница $a = 3x - 14$ является прямой линией. Определим несколько точек для её построения:

x	0	2	5	6
a	-14	-8	1	4

Найдем ключевые значения параметра, при которых система имеет решения.
Нижняя граница искомой области определяется точкой пересечения гиперболы и прямой. При $x = 5$ значение функции $a = \frac{4}{5 - 1} = 1$.
Верхняя граница определяется пересечением прямой и иррациональной функции. Подставив $x = 5$ во второе уравнение, получим:
$a = 2 \cdot \sqrt{5 - 2} = 2\sqrt{3}$.

Таким образом, значения параметра $a$ должны находиться в интервале от точки пересечения гиперболы и прямой до точки пересечения прямой и кривой $a = 2\sqrt{x-2}$.

Ответ: $(1; 2\sqrt{3}]$

Источник: ФИПИ