Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Неравенства с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} a \left(x - 1\right) \geq 4 , \\ 2 \sqrt{x - 2} \geq a , \\ 3 x < a + 14 \end{matrix}\right.$
имеет хоят бы одно решение на отрезке $\left[4 ; 5\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Разбор задачи:
Исходная система неравенств имеет вид:
$\begin{cases} a(x - 1) \geq 4 \\ 2\sqrt{x - 2} \geq a \\ 3x < a + 14 \end{cases}$
Выразим параметр $a$ из каждого условия, учитывая область определения (так как из первого неравенства следует $x > 1$ ):
$\begin{cases} a \geq \frac{4}{x - 1} \\ a \leq 2\sqrt{x - 2} \\ a > 3x - 14 \end{cases}$

Для нахождения области решений в плоскости $(x; a)$ проанализируем границы каждой области:

1) Граница $a = \frac{4}{x - 1}$ представляет собой гиперболу $a = \frac{4}{x}$ , смещенную вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо. Рассмотрим опорные точки для базовой гиперболы:

x	1	-1	2	-2	4	-4
a	4	-4	2	-2	1	-1

2) Граница $a = 2\sqrt{x - 2}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2; 0)$ . Она получается сдвигом графика $a = 2\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо:

x	0	4	9
a	0	4	6

3) Граница $a = 3x - 14$ является прямой линией. Определим несколько точек для её построения:

x	0	2	5	6
a	-14	-8	1	4

Найдем ключевые значения параметра, при которых система имеет решения.
Нижняя граница искомой области определяется точкой пересечения гиперболы и прямой. При $x = 5$ значение функции $a = \frac{4}{5 - 1} = 1$ .
Верхняя граница определяется пересечением прямой и иррациональной функции. Подставив $x = 5$ во второе уравнение, получим:
$a = 2 \cdot \sqrt{5 - 2} = 2\sqrt{3}$ .

Таким образом, значения параметра $a$ должны находиться в интервале от точки пересечения гиперболы и прямой до точки пересечения прямой и кривой $a = 2\sqrt{x-2}$ .

Ответ: $(1; 2\sqrt{3}]$

Источник: ФИПИ