Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $x^{2} + a^{2} - x - 7 a = \left|7 x - a\right|$.
Для раскрытия модуля разберем два случая в зависимости от знака подмодульного выражения:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 7 x - a \geq 0 \\ x^{2} + a^{2} - x - 7 a = 7 x - a \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 7 x - a < 0 \\ x^{2} + a^{2} - x - 7 a = -(7 x - a) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Приведем уравнения систем к каноническому виду, сгруппировав слагаемые:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0 \\ a \leq 7 x \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x^{2} + 6 x + a^{2} - 8 a = 0 \\ a > 7 x \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Границей областей служит прямая $a = 7 x$.

Преобразуем уравнения, выделяя полные квадраты для получения уравнений окружностей:
(1) Для первого случая:
$x^{2} - 8 x + 16 + a^{2} - 6 a + 9 = 16 + 9$
$(x - 4)^{2} + (a - 3)^{2} = 5^{2}$.
Это окружность с центром в точке $(4; 3)$ и радиусом $5$.
(2) Для второго случая:
$x^{2} + 6 x + 9 + a^{2} - 8 a + 16 = 9 + 16$
$(x + 3)^{2} + (a - 4)^{2} = 5^{2}$.
Это окружность с центром в точке $(-3; 4)$ и радиусом $5$.
Проверим точки пересечения графиков с граничной прямой и друг с другом:
Для первой окружности при $x=0, a=0$: $(0 - 4)^{2} + (0 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25$. Верно.
Для второй окружности при $x=0, a=0$: $(0 + 3)^{2} + (0 - 4)^{2} = 9 + 16 = 25$. Верно.
Проверим точку $(1; 7)$ для первой окружности: $(1 - 4)^{2} + (7 - 3)^{2} = 9 + 16 = 25$. Верно.
Проверим точку $(-1; -7)$ — не подходит, проверим точку пересечения окружностей.
Заметим, что обе фигуры проходят через начало координат $(0; 0)$ и точку $(-1; 7)$.

Таким образом, линии пересекаются в узлах с координатами $(-1; 7)$ и $(0; 0)$.

Ответ: $(-2; -1) \cup (8; 9)$

Источник: ФИПИ