Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений: $$\begin{cases} ax^{2} + ay^{2} - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0 \quad (1) \\ x^{2} + y = xy + x \quad (2) \end{cases}$$ Начнем с упрощения второго уравнения системы: $$x^{2} - x - xy + y = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$x(x - 1) - y(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - y) = 0$$ Отсюда получаем совокупность двух прямых: $$\left[\begin{matrix} x = 1 \\ y = x \end{matrix}\right.$$ Чтобы исходная система имела ровно четыре различных решения, уравнение (1) должно давать по два различных корня для каждого из этих случаев, причем все полученные пары $(x; y)$ не должны дублировать друг друга.

1) Исследуем случай $x = 1$. Подставим это значение в первое уравнение: $$a \cdot 1^2 + ay^2 - (2a - 5) \cdot 1 + 2ay + 1 = 0$$ $$ay^2 + 2ay - a + 6 = 0$$ Для наличия двух различных корней относительно $y$ необходимо выполнение условий: $a \neq 0$ и дискриминант $D_1 > 0$. $$D_1 = (2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (6 - a) = 4a^2 - 24a + 4a^2 = 8a^2 - 24a$$ Решим неравенство $8a^2 - 24a > 0$: $$8a(a - 3) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$$ Заметим, что при $a = 0$ уравнение принимает вид $6 = 0$, что невозможно.

2) Исследуем случай $y = x$. Подставим $x = y$ в первое уравнение: $$ax^2 + ax^2 - (2a - 5)x + 2ax + 1 = 0$$ $$2ax^2 - 2ax + 5x + 2ax + 1 = 0$$ $$2ax^2 + 5x + 1 = 0$$ Данное квадратное уравнение имеет два корня, если $a \neq 0$ и $D_2 > 0$: $$D_2 = 5^2 - 4 \cdot 2a \cdot 1 = 25 - 8a$$ $$25 - 8a > 0 \Rightarrow a < \frac{25}{8}$$
3) Исключим случаи совпадения корней. Точка пересечения прямых $x = 1$ и $y = x$ — это точка $(1; 1)$. Если она является решением уравнения (1), то количество различных корней системы уменьшится. Подставим $x = 1, y = 1$: $$a(1)^2 + a(1)^2 - (2a - 5) \cdot 1 + 2a(1) + 1 = 0$$ $$2a - 2a + 5 + 2a + 1 = 0$$ $$2a + 6 = 0 \Rightarrow a = -3$$ Таким образом, при $a = -3$ один из корней первого случая совпадет с корнем второго случая.


Объединяя условия $a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$, $a < \frac{25}{8}$, $a \neq 0$ и $a \neq -3$, получаем искомые промежутки.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (3; \frac{25}{8})$

Источник: ФИПИ