Решение:
Исходная система неравенств имеет вид:
$\begin{cases} 2a \leq x \\ 6x > x^2 + a^2 \\ x + a \leq 6 \end{cases}$
Преобразуем каждое условие для удобства построения в системе координат $(x; a)$:
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \\ x^2 - 6x + a^2 < 0 \\ a \leq 6 - x \end{cases}$
Для второго неравенства выделим полный квадрат по переменной $x$:
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \quad (1) \\ (x - 3)^2 + a^2 < 9 \quad (2) \\ a \leq 6 - x \quad (3) \end{cases}$
Рассмотрим границы областей, задаваемых этими соотношениями.
Уравнение $(1)$ задает прямую $a = \frac{x}{2}$. Построим её по точкам:

x	1	2
a	$0,5$	1

Уравнение $(3)$ соответствует прямой $a = 6 - x$. Определим её положение:

x	6	2
a	0	4

Неравенство $(2)$ описывает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$.

Искомые значения параметра $a$ соответствуют ординатам точек, находящихся в пересечении всех трех областей. Из чертежа видно, что интервал значений $a$ ограничен снизу точкой пересечения границы круга с вертикальной прямой, а сверху — точкой пересечения двух прямых.
Найдем нижнюю границу (случай 1):
При $x = 4$ точка лежит на окружности $(x - 3)^2 + a^2 = 9$. Подставим значение:
$(4 - 3)^2 + a^2 = 9 \Rightarrow 1 + a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 8 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}$.
Согласно графику, нам подходит отрицательное значение: $a = -2\sqrt{2}$.
Найдем верхнюю границу (случай 2):
Она соответствует пересечению прямых $a = \frac{x}{2}$ и $a = 6 - x$:
$\frac{x}{2} = 6 - x \Rightarrow x = 12 - 2x \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$.
Тогда значение параметра равно $a = 6 - 4 = 2$.
Объединяя результаты и учитывая строгость неравенства для круга, получаем искомый промежуток.

Ответ: $(-2\sqrt{2}; 2]$

Источник: ФИПИ