Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Неравенства с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} 2 a \leq x , \\ 6 x > x^{2} + a^{2} , \\ x + a \leq 6 \end{matrix}\right.$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[4 ; 5\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Исходная система неравенств имеет вид:
$\begin{cases} 2a \leq x \\ 6x > x^2 + a^2 \\ x + a \leq 6 \end{cases}$
Преобразуем каждое условие для удобства построения в системе координат $(x; a)$ :
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \\ x^2 - 6x + a^2 < 0 \\ a \leq 6 - x \end{cases}$
Для второго неравенства выделим полный квадрат по переменной $x$ :
$\begin{cases} a \leq \frac{x}{2} \quad (1) \\ (x - 3)^2 + a^2 < 9 \quad (2) \\ a \leq 6 - x \quad (3) \end{cases}$
Рассмотрим границы областей, задаваемых этими соотношениями.
Уравнение $(1)$ задает прямую $a = \frac{x}{2}$ . Построим её по точкам:

x	1	2
a	$0,5$	1

Уравнение $(3)$ соответствует прямой $a = 6 - x$ . Определим её положение:

x	6	2
a	0	4

Неравенство $(2)$ описывает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$ .

Искомые значения параметра $a$ соответствуют ординатам точек, находящихся в пересечении всех трех областей. Из чертежа видно, что интервал значений $a$ ограничен снизу точкой пересечения границы круга с вертикальной прямой, а сверху — точкой пересечения двух прямых.
Найдем нижнюю границу (случай 1):
При $x = 4$ точка лежит на окружности $(x - 3)^2 + a^2 = 9$ . Подставим значение:
$(4 - 3)^2 + a^2 = 9 \Rightarrow 1 + a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 8 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}$ .
Согласно графику, нам подходит отрицательное значение: $a = -2\sqrt{2}$ .
Найдем верхнюю границу (случай 2):
Она соответствует пересечению прямых $a = \frac{x}{2}$ и $a = 6 - x$ :
$\frac{x}{2} = 6 - x \Rightarrow x = 12 - 2x \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ .
Тогда значение параметра равно $a = 6 - 4 = 2$ .
Объединяя результаты и учитывая строгость неравенства для круга, получаем искомый промежуток.

Ответ: $(-2\sqrt{2}; 2]$

Источник: ФИПИ