Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = a \\ |y| = |x^2 - 2x| \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = -x + a$
Второе уравнение равносильно равенству квадратов выражений: $y^2 = (x^2 - 2x)^2$.
Перенеся всё в одну сторону и разложив на множители как разность квадратов, получим:
$(y - (x^2 - 2x))(y + (x^2 - 2x)) = 0$
Таким образом, задача сводится к поиску точек пересечения прямой $y = -x + a$ с объединением двух парабол:
$\begin{cases} \left[ \begin{gathered} y = x^2 - 2x \quad (3) \\ y = -x^2 + 2x \quad (4) \end{gathered} \right. \\ y = -x + a \end{cases}$

Для определения значений параметра $a$, при которых система имеет решения, проанализируем графики функций.
Исследуем первую параболу $(3)$: $y = x^2 - 2x$.
Координаты вершины: $x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$, тогда $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$.
Точки пересечения с осью абсцисс ($y=0$):
$x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 2$.

Исследуем вторую параболу $(4)$: $y = -x^2 + 2x$.
Координаты вершины: $x_1 = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1$, тогда $y_1 = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$.
Нули функции также находятся в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Найдем граничные значения $a$, соответствующие моментам касания прямой $y = -x + a$ и данных парабол.
Случай касания с параболой $y = x^2 - 2x$:
$x^2 - 2x = -x + a \Rightarrow x^2 - x - a = 0$.
Условие касания — равенство дискриминанта нулю:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.
$1 + 4a = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.

Случай касания с параболой $y = -x^2 + 2x$:
$-x^2 + 2x = -x + a \Rightarrow x^2 - 3x + a = 0$.
Находим дискриминат и приравниваем его к нулю:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9 - 4a$.
$9 - 4a = 0 \Rightarrow a = \frac{9}{4}$.

Исходя из графического представления, система будет иметь решения при значениях параметра $a$, лежащих вне интервала между точками касания.

Ответ: $a \in \left(-\infty; -\frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4}; +\infty\right)$

Источник: ФИПИ