Решение:
Рассмотрим уравнение $\sqrt{4 x - 1} \cdot \ln \left(x^{2} - 2 x + 2 - a^{2}\right) = 0$. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на промежутке $[0; 1]$.
Данное уравнение равносильно следующей системе условий: $$\begin{cases} \left[ \begin{gathered} 4x - 1 = 0 \quad (1) \\ \ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0 \quad (2) \end{gathered} \right. \\ x^2 - 2x + 2 - a^2 > 0 \\ 4x - 1 \geq 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения получаем потенциальный корень: $x_1 = \frac{1}{4}$.
Решим второе уравнение совокупности: $$x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1$$ $$x^2 - 2x + 1 = a^2$$ $$(x - 1)^2 = a^2$$ Откуда находим еще два значения: $x = 1 \pm a$.
Проанализируем корень $x_1 = \frac{1}{4}$. Он лежит в заданном отрезке $[0; 1]$. Проверим условия его существования (ОДЗ):
1) $4 \cdot \frac{1}{4} - 1 \geq 0 \Rightarrow 0 \geq 0$ (верно для любого $a$);
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 - a^2 > 0$
$\frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{25}{16} - a^2 > 0$.
Следовательно, $x_1$ является корнем при $a \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{5}{4}\right)$.
Теперь рассмотрим корни $x_2 = 1 + a$ и $x_3 = 1 - a$. Для них должны выполняться условия нахождения в отрезке $[0; 1]$ и условия ОДЗ:
Для $x_2 = 1 + a$: $$\begin{cases} (1+a)^2 - 2(1+a) + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \, (\text{верно}) \\ 4(1+a) - 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{3}{4} \\ 0 \leq 1+a \leq 1 \Rightarrow -1 \leq a \leq 0 \end{cases}$$ Объединяя, получаем $a \in [-\frac{3}{4}; 0]$.
Для $x_3 = 1 - a$: $$\begin{cases} (1-a)^2 - 2(1-a) + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \, (\text{верно}) \\ 4(1-a) - 1 \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{3}{4} \\ 0 \leq 1-a \leq 1 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1 \end{cases}$$ Объединяя, получаем $a \in [0; \frac{3}{4}]$.
Исследуем случаи совпадения корней:
1) $x_1 = x_2 \Rightarrow \frac{1}{4} = 1 + a \Rightarrow a = -\frac{3}{4}$;
2) $x_1 = x_3 \Rightarrow \frac{1}{4} = 1 - a \Rightarrow a = \frac{3}{4}$;
3) $x_2 = x_3 \Rightarrow 1 + a = 1 - a \Rightarrow a = 0$.
Наглядно представим области существования корней на числовой прямой для параметра $a$:

Учитывая условия, при которых в заданном интервале остается только один корень (либо $x_1$ единственный, либо он совпадает с другими корнями), получаем итоговый результат.

Ответ: $( - \frac{5}{4} ; - \frac{3}{4} ] \cup [ \frac{3}{4} ; \frac{5}{4} )$

Источник: ФИПИ