Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений: $$\begin{cases} y = |x - a| - 4 \\ 4|y| + x^2 + 8x = 0 \end{cases}$$ Выразим $|y|$ из второго уравнения системы: $$\begin{cases} y = |x - a| - 4 \\ |y| = -\frac{x^2 + 8x}{4} \end{cases}$$ Раскроем модуль для переменной $y$, чтобы получить совокупность двух условий: $$\begin{cases} y = |x - a| - 4 \\ \left[\begin{matrix} \begin{cases} y \geq 0 \\ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2x \end{cases} \\ \begin{cases} y < 0 \\ y = \frac{1}{4}x^2 + 2x \end{cases} \end{matrix}\right. \end{cases}$$ Построим графики полученных функций в системе координат $Oxy$. Второе уравнение задает фиксированную фигуру, состоящую из дуг двух парабол, а первое уравнение — семейство «уголков» с вершиной в точке $(a; -4)$, сдвигающихся вдоль оси $Ox$ в зависимости от параметра $a$.

Проанализируем ключевые точки графиков. Для верхней параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 - 2x$: абсцисса вершины $x_0 = \frac{2}{2 \cdot (-1/4)} = -4$, ветви направлены вниз, корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 - 2x = 0$ — это $x = -8$ и $x = 0$. Для нижней параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x$: вершина находится в точке $x_0 = -4$, при этом $y_0(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) = 4 - 8 = -4$. Корни также $x = -8$ и $x = 0$. Таким образом, фиксированная часть графика представляет собой замкнутую кривую («овал» из дуг парабол). Система будет иметь ровно три решения в случаях, когда стороны «уголка» касаются дуг парабол или проходят через характерные точки.
Рассмотрим случай касания правой ветви «уголка» $y = x - a - 4$ и нижней параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x$: $$x - a - 4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$ Умножим на 4 и приведем к квадратному виду: $$x^2 + 4x + 4a + 16 = 0$$ Условие касания — равенство дискриминанта нулю: $$D = 16 - 4(4a + 16) = -16a - 48 = 0 \Rightarrow a = -3.$$
Рассмотрим случай, когда вершина «уголка» $(a; -4)$ совпадает с нижней точкой фигуры. Это происходит при $a = -4$.
Теперь найдем значение параметра при касании левой ветви «уголка» $y = -(x - a) - 4 = a - x - 4$ с нижней параболой: $$a - x - 4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$ После преобразований получаем: $$x^2 + 12x - 4a + 16 = 0$$ Требуем, чтобы дискриминант был равен нулю: $$D = 144 - 4(16 - 4a) = 16a + 80 = 0 \Rightarrow a = -5.$$ Исходя из графического анализа, три точки пересечения будут достигаться в интервалах между моментами касания и положением вершины в центре.

Ответ: $(-5; -4) \cup (-4; -3)$

Источник: ФИПИ