Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\begin{cases} x^{4} + y^{2} = a^{2} \\ x^{2} + y = |2a - 4| \end{cases}$
Для упрощения введем замену переменной $x^{2} = t$. Учитывая, что $t \ge 0$, перепишем систему в виде:
$\begin{cases} t^{2} + y^{2} = a^{2} \\ t + y = |2a - 4| \end{cases}$

Проанализируем количество корней исходной системы в зависимости от значения $t$:
— если $t < 0$, решений для $x$ нет;
— если $t = 0$, получаем ровно одно решение ($x = 0$);
— если $t > 0$, уравнение $x^2 = t$ дает два различных значения $x$.
Геометрически первое уравнение системы описывает окружность с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$, а второе — прямую. Чтобы исходная система имела ровно два решения, прямая должна пересекать окружность в точках, где $t > 0$.
Обозначим точки пересечения окружности с осями как $A$ и $B$. Тогда расстояние от начала координат до прямой должно быть больше радиуса вписанной окружности, но меньше радиуса описанной, чтобы отсекаемая хорда находилась в нужной области. Из геометрических соображений (расстояние до прямой $t+y=d$):
$|a| < |2a - 4| < \sqrt{2}|a|$
Возведем все части неравенства в квадрат:
$a^{2} < (2a - 4)^{2} < 2a^{2}$
Это условие равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} (2a - 4)^{2} < 2a^{2} \\ (2a - 4)^{2} > a^{2} \end{cases}$
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\begin{cases} 4a^{2} - 16a + 16 - 2a^{2} < 0 \\ 4a^{2} - 16a + 16 - a^{2} > 0 \end{cases}$
Получаем два квадратных неравенства:
$\begin{cases} 2a^{2} - 16a + 16 < 0 \quad (1) \\ 3a^{2} - 16a + 16 > 0 \quad (2) \end{cases}$
Решим первое неравенство $(1)$:
$a^{2} - 8a + 8 < 0$
Находим корни уравнения $a^{2} - 8a + 8 = 0$:
$D = 64 - 32 = 32$
$a = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$
Следовательно, $a \in (4 - 2\sqrt{2}; 4 + 2\sqrt{2})$.
Решим второе неравенство $(2)$:
$3a^{2} - 16a + 16 > 0$
Находим корни уравнения $3a^{2} - 16a + 16 = 0$:
$D = 256 - 192 = 64$
$a_1 = \frac{16 + 8}{6} = 4$; $a_2 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}$
Значит, $a \in (-\infty; \frac{4}{3}) \cup (4; +\infty)$.
Найдем пересечение полученных интервалов:

Ответ: $(4 - 2\sqrt{2}; \frac{4}{3}) \cup (4; 4 + 2\sqrt{2})$

Источник: ФИПИ