Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \log _{7} \left(36 - y^{2}\right) = \log _{7} \left(36 - a^{2} x^{2}\right) \\ x^{2} + y^{2} = 2 x + 6 y \end{matrix}\right.$
Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых система имеет ровно два различных решения.
Учитывая область определения логарифма, перейдем к равносильной системе:
$\left\{\begin{matrix} 36 - y^{2} = 36 - a^{2} x^{2} \\ x^{2} - 2 x + y^{2} - 6 y = 0 \\ 36 - y^{2} > 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнения, выделив полные квадраты во втором уравнении:
$\left\{\begin{matrix} y^{2} = a^{2} x^{2} \\ (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10 \\ -6 < y < 6 \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на две прямые, проходящие через начало координат: $y = ax$ и $y = -ax$. Второе уравнение задает окружность с центром в точке $(1; 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Заметим, что точка $(0; 0)$ принадлежит этой окружности и удовлетворяет условию $-6 < y < 6$.

Проанализируем количество точек пересечения графиков в зависимости от $a$:
1) Если $a = 0$, то обе прямые сливаются в одну $y = 0$ (ось $Ox$). Прямая пересекает окружность в двух точках, обе из которых лежат в полосе $-6 < y < 6$. Это дает ровно 2 решения.
2) Найдем значение $a$, при котором прямая проходит через "выколотую" границу. При $y = 6$ из уравнения окружности получаем: $(x-1)^2 + (6-3)^2 = 10 \Rightarrow (x-1)^2 = 1 \Rightarrow x = 2$ или $x = 0$. Точка $(0; 6)$ не лежит на прямых вида $y = \pm ax$ при конечных $a$. Для точки $(2; 6)$:
$6 = |a| \cdot 2 \Rightarrow |a| = 3$.
3) Рассмотрим случай касания одной из прямых $y = kx$ и окружности. Воспользуемся формулой расстояния от центра $(1; 3)$ до прямой $kx - y = 0$, которое должно быть равно радиусу $\sqrt{10}$:
$$\frac{|k \cdot 1 - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{10}$$
Возведем в квадрат: $(k - 3)^2 = 10(k^2 + 1) \Rightarrow k^2 - 6k + 9 = 10k^2 + 10 \Rightarrow 9k^2 + 6k + 1 = 0$.
Это квадратное уравнение имеет корень $k = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, при $|a| = \frac{1}{3}$ одна из прямых касается окружности (1 точка пересечения), а вторая пересекает её в двух точках, одна из которых — начало координат. Итого 2 различных решения.

Суммируем результаты графического анализа:
— При $|a| = 0$ прямые совпадают, имеем 2 решения.
— При $|a| = \frac{1}{3}$ одна прямая дает 1 точку (касание), другая — 2 точки, но точка $(0;0)$ у них общая. Итого 2 решения.
— При $|a| \geq 3$ одна или обе прямые выходят за пределы допустимой области $y < 6$, оставляя в совокупности ровно 2 рабочих точки пересечения (включая начало координат).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют:
$|a| \in \{0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$, что соответствует объединению промежутков:
$a \in (-\infty; -3] \cup \{-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$

Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup \{-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$

Источник: ФИПИ