Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Системы с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} x + ay + a - 2 = 0 , \\ x \left|y\right| + x - 2 = 0 \end{matrix}\right.$
имеет единственное решение.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} x + ay + a - 2 = 0 \\ x |y| + x - 2 = 0 \end{matrix}\right.$
Выразим переменную $x$ из каждого уравнения системы:
Из первого уравнения: $x = 2 - a(y + 1)$ (1)
Из второго уравнения: $x = \frac{2}{|y| + 1}$ (2)
Построим график функции (2) и проанализируем взаимное расположение с семейством прямых (1).

y	0	1	3
x	2	1	0,5

Исследуем функцию $x = \frac{2}{|y| + 1}$ . Заметим, что при $y = 0$ значение $x = 2$ .
Подставим эти координаты в первое уравнение, чтобы найти значение параметра, при котором прямая проходит через вершину графика:
$2 + a \cdot 0 + a - 2 = 0$
Откуда получаем $a = 0$ .

Для поиска условий касания при $y \geq 0$ приравняем выражения для $x$ :
$\frac{2}{y + 1} = 2 - a(y + 1)$
Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2 - 2(y + 1) + a(y + 1)^2}{y + 1} = 0$
Раскроем скобки в числителе (учитывая, что $y \neq -1$ ):
$2 - 2y - 2 + a(y^2 + 2y + 1) = 0$
$ay^2 + 2ay - 2y + a = 0$
Сгруппируем слагаемые при $y$ :
$ay^2 + 2(a - 1)y + a = 0$
Чтобы прямая и кривая имели ровно одну общую точку (касание), дискриминант полученного квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D/4 = (a - 1)^2 - a \cdot a = a^2 - 2a + 1 - a^2 = 1 - 2a$
Установим равенство $1 - 2a = 0$ , откуда находим $a = \frac{1}{2}$ .
Анализируя количество решений системы в зависимости от наклона прямой, определяемого параметром $a$ , получаем искомое множество значений.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$

Источник: ФИПИ