Задание №18 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} x + ay + a - 2 = 0 \\ x |y| + x - 2 = 0 \end{matrix}\right.$
Выразим переменную $x$ из каждого уравнения системы:
Из первого уравнения: $x = 2 - a(y + 1)$   (1)
Из второго уравнения: $x = \frac{2}{|y| + 1}$   (2)
Построим график функции (2) и проанализируем взаимное расположение с семейством прямых (1).

Исследуем функцию $x = \frac{2}{|y| + 1}$. Заметим, что при $y = 0$ значение $x = 2$.
Подставим эти координаты в первое уравнение, чтобы найти значение параметра, при котором прямая проходит через вершину графика:
$2 + a \cdot 0 + a - 2 = 0$
Откуда получаем $a = 0$.

Для поиска условий касания при $y \geq 0$ приравняем выражения для $x$:
$\frac{2}{y + 1} = 2 - a(y + 1)$
Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2 - 2(y + 1) + a(y + 1)^2}{y + 1} = 0$
Раскроем скобки в числителе (учитывая, что $y \neq -1$):
$2 - 2y - 2 + a(y^2 + 2y + 1) = 0$
$ay^2 + 2ay - 2y + a = 0$
Сгруппируем слагаемые при $y$:
$ay^2 + 2(a - 1)y + a = 0$
Чтобы прямая и кривая имели ровно одну общую точку (касание), дискриминант полученного квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D/4 = (a - 1)^2 - a \cdot a = a^2 - 2a + 1 - a^2 = 1 - 2a$
Установим равенство $1 - 2a = 0$, откуда находим $a = \frac{1}{2}$.
Анализируя количество решений системы в зависимости от наклона прямой, определяемого параметром $a$, получаем искомое множество значений.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$

Источник: ФИПИ