Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
Рассмотрим уравнение $\sqrt{2 - 3 x} \cdot \ln \left(16 x^{2} - a^{2}\right) = \sqrt{2 - 3 x} \cdot \ln \left(4 x + a\right)$. Найдём значения параметра, при которых оно обладает ровно одним решением. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
$$\left\{\begin{matrix} 2 - 3 x \geq 0 \\ 4 x + a > 0 \\ 16 x^2 - a^{2} > 0 \end{matrix}\right.$$ Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель:
$\sqrt{2 - 3 x} \cdot \left( \ln (16 x^2 - a^2) - \ln (4 x + a) \right) = 0$
Разложим разность квадратов под знаком логарифма:
$\sqrt{2 - 3 x} \cdot \left( \ln ((4 x - a)(4 x + a)) - \ln (4 x + a) \right) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) Множитель $\sqrt{2 - 3 x} = 0$, откуда получаем корень $x_1 = \frac{2}{3}$.
2) Разность логарифмов равна нулю: $\ln ((4 x - a)(4 x + a)) = \ln (4 x + a)$.
Это приводит к равенству аргументов: $(4 x - a)(4 x + a) = 4 x + a$.
Перегруппируем: $(4 x + a) (4 x - a - 1) = 0$.
Отсюда получаем ещё два потенциальных корня: $x_2 = - \frac{a}{4}$ и $x_3 = \frac{a + 1}{4}$.

Проанализируем каждый корень с учётом ограничений системы:
Для $x_{1} = \frac{2}{3}$ условия примут вид:
$\left\{\begin{matrix} 2 - 3 \cdot \frac{2}{3} \geq 0 \\ 4 \cdot \frac{2}{3} + a > 0 \\ 16 \cdot \frac{4}{9} - a^{2} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \geq 0 \\ a > - \frac{8}{3} \\ a^{2} < \frac{64}{9} \end{matrix}\right.$
Следовательно, $x_1$ является корнем при $a \in \left(- \frac{8}{3} ; \frac{8}{3}\right)$.

Рассмотрим $x_{2} = - \frac{a}{4}$. Проверим его по ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} 2 - 3 \cdot (-\frac{a}{4}) \geq 0 \\ 4 \cdot (-\frac{a}{4}) + a > 0 \\ 16 \cdot (-\frac{a}{4})^2 - a^2 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2 + \frac{3a}{4} \geq 0 \\ 0 > 0 \\ 0 > 0 \end{matrix}\right.$
Так как неравенство $0 > 0$ ложно, значение $x_2$ никогда не является корнем уравнения.

Для $x_{3} = \frac{a + 1}{4}$ проверим выполнение условий:
$\left\{\begin{matrix} 2 - 3 \cdot \frac{a + 1}{4} \geq 0 \\ 4 \cdot \frac{a + 1}{4} + a > 0 \\ 16 \cdot (\frac{a + 1}{4})^2 - a^2 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8 - 3a - 3 \geq 0 \\ 2a + 1 > 0 \\ a^2 + 2a + 1 - a^2 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a \leq 5 \\ 2a > -1 \\ 2a > -1 \end{matrix}\right.$
Таким образом, $x_3$ является корнем при $a \in ( - \frac{1}{2} ; \frac{5}{3} ]$.

Исследуем случай совпадения корней $x_1$ и $x_3$:
$\frac{2}{3} = \frac{a + 1}{4} \Rightarrow 8 = 3a + 3 \Rightarrow 3a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{3}$.
При $a = \frac{5}{3}$ корни совпадают, и уравнение имеет единственное решение.
Нам нужно, чтобы в итоге остался только один корень. Это происходит, когда либо только $x_1$ входит в ОДЗ, либо только $x_3$, либо они совпадают.

Ответ: $( - \frac{8}{3} ; - \frac{1}{2} ] \cup [ \frac{5}{3} ; \frac{8}{3} )$

Источник: ФИПИ