Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $\left(2 x + \ln \left(x + 2 a\right)\right)^{2} = \left(2 x - \ln \left(x + 2 a\right)\right)^{2}$. Нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right]$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:
$\left(2 x + \ln \left(x + 2 a\right)\right)^{2} - \left(2 x - \ln \left(x + 2 a\right)\right)^{2} = 0$
$\left(2 x + \ln \left(x + 2 a\right) - (2 x - \ln \left(x + 2 a\right))\right) \left(2 x + \ln \left(x + 2 a\right) + 2 x - \ln \left(x + 2 a\right)\right) = 0$
После упрощения в скобках получаем:
$2 \ln \left(x + 2 a\right) \cdot 4 x = 0$
Данное произведение равно нулю, если выполняется одно из условий:
1) $x_{1} = 0$
2) $\ln \left(x + 2 a\right) = 0$, что равносильно $x + 2 a = 1$, откуда $x_{2} = 1 - 2 a$.

Проанализируем условия существования корней (с учетом области определения логарифма $x + 2a > 0$):
Для первого корня $x_{1} = 0$:
$\left\{\begin{matrix} x = 0 \\ 0 + 2 a > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow a > 0$.
Таким образом, $x = 0$ является корнем при $a \in (0; +\infty)$. Заметим, что этот корень всегда принадлежит заданному отрезку $[0; 1]$.

Для второго корня $x_{2} = 1 - 2 a$:
Проверим условие логарифма: $(1 - 2a) + 2a = 1 > 0$ — выполняется всегда.
Теперь найдем значения $a$, при которых этот корень попадает в отрезок $[0; 1]$:
$0 \leq 1 - 2 a \leq 1$
$-1 \leq -2 a \leq 0$
$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$.
Следовательно, $x_2$ является корнем на искомом промежутке при $a \in [0; \frac{1}{2}]$.

Выясним, когда корни совпадают:
$x_{1} = x_{2} \Rightarrow 0 = 1 - 2 a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.

Проведем отбор значений параметра для наличия единственного решения:
1) Если $a = 0$, то $x_1$ не существует, а $x_2 = 1$ — один корень.
2) Если $a \in (0; \frac{1}{2})$, то имеем два различных корня ($x_1 = 0$ и $x_2 \in (0; 1)$).
3) Если $a = \frac{1}{2}$, корни совпадают ($x_1 = x_2 = 0$) — один корень.
4) Если $a > \frac{1}{2}$, то $x_2 < 0$ (вне отрезка), остается только корень $x_1 = 0$.

Ответ: $\{0\} \cup [ \frac{1}{2} ; + \infty )$

Источник: ФИПИ