Решение:
Исходное уравнение имеет вид: $\left(2 x + a + 1 + \operatorname{tg} x\right)^{2} = \left(2 x + a - 1 - \operatorname{tg} x\right)^{2}$. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых на отрезке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ будет ровно один корень.
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$\left(2 x + a + 1 + \operatorname{tg} x\right)^{2} - \left(2 x + a - 1 - \operatorname{tg} x\right)^{2} = 0$
Раскроем скобки внутри множителей:
$\left(2 x + a + 1 + \operatorname{tg} x - (2 x + a - 1 - \operatorname{tg} x)\right) \left(2 x + a + 1 + \operatorname{tg} x + 2 x + a - 1 - \operatorname{tg} x\right) = 0$
После приведения подобных слагаемых получим:
$\left(2 + 2 \operatorname{tg} x\right) \left(4 x + 2 a\right) = 0$
Разделим обе части уравнения на 4:
$\left(1 + \operatorname{tg} x\right) \left(2 x + a\right) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю (с учетом области определения тангенса):
$\operatorname{tg} x = - 1$ или $2 x = - a$, что дает $x = - \frac{a}{2}$
Запишем совокупность решений с учетом условия существования тангенса ($\cos x \neq 0$):
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{a}{2} \end{matrix}\right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
На заданном отрезке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ первый множитель дает единственный корень $x_{1} = - \frac{\pi}{4}$.

Так как корень $x_{1} = - \frac{\pi}{4}$ присутствует при любом значении $a$, для обеспечения единственности решения нужно, чтобы второй корень $x_{2} = - \frac{a}{2}$ либо не попадал в рассматриваемый отрезок, либо совпадал с уже найденным корнем, либо попадал в точки, где функция не определена.
1) Рассмотрим условие, при котором $x_2$ находится вне отрезка $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$:
Если $-\frac{\pi}{2} \leq -\frac{a}{2} \leq \frac{\pi}{2}$, то $-\pi \leq -a \leq \pi$, откуда $-\pi \leq a \leq \pi$.
Следовательно, корень $x_2$ лежит вне отрезка при $a > \pi$ или $a < -\pi$.
2) Проверим границы отрезка. Если $-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2}$, то $a = -\pi$. В этой точке тангенс не определен, поэтому $x_2$ не является корнем, и остается только $x_1$.
3) Аналогично для левой границы: если $-\frac{a}{2} = -\frac{\pi}{2}$, то $a = \pi$. Здесь тангенс также не существует, корень $x_2$ исключается.
4) Случай совпадения корней: $x_2 = x_1$.
$-\frac{a}{2} = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow a = \frac{\pi}{2}$. В этом случае оба выражения дают один и тот же корень.

Ответ: $a \leq - \pi ; a = \frac{\pi}{2} ; a \geq \pi$

Источник: ФИПИ