Решение:
Рассмотрим уравнение $\left(2 x + a + 1 - \operatorname{tg} x\right)^{2} = \left(2 x + a - 1 + \operatorname{tg} x\right)^{2}$ и определим значения параметра, при которых оно обладает единственным корнем на промежутке $\left[0 ; \pi\right]$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:
$\left(2 x + a + 1 - \operatorname{tg} x\right)^{2} - \left(2 x + a - 1 + \operatorname{tg} x\right)^{2} = 0$
$\left((2 x + a + 1 - \operatorname{tg} x) - (2 x + a - 1 + \operatorname{tg} x)\right) \cdot \left((2 x + a + 1 - \operatorname{tg} x) + (2 x + a - 1 + \operatorname{tg} x)\right) = 0$
После упрощения выражений в скобках получаем:
$\left(2 - 2 \operatorname{tg} x\right) \left(4 x + 2 a\right) = 0$
Разделим обе части уравнения на 4:
$\left(1 - \operatorname{tg} x\right) \left(2 x + a\right) = 0$
Данное уравнение распадается на два условия: $\operatorname{tg} x = 1$ или $2x + a = 0$. При этом необходимо учитывать область определения тангенса ($\cos x \neq 0$):
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{a}{2} \end{matrix}\right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

На заданном отрезке $\left[0 ; \pi\right]$ первый корень всегда один: $x_{1} = \frac{\pi}{4}$. Он существует при любых значениях $a$. Следовательно, для обеспечения единственности решения на данном отрезке, второй корень $x_{2} = - \frac{a}{2}$ либо не должен попадать в этот отрезок, либо должен совпадать с уже имеющимся корнем, либо попадать в точку, где функция не определена.
Рассмотрим возможные ситуации:
1) Корень $x_2$ находится вне рассматриваемого отрезка $\left[0 ; \pi\right]$:
Условие попадания в отрезок: $0 \leq - \frac{a}{2} \leq \pi \Leftrightarrow 0 \leq - a \leq 2 \pi \Leftrightarrow - 2 \pi \leq a \leq 0$.
Значит, корень будет вне отрезка при $a < - 2 \pi$ или $a > 0$.
2) Корень $x_2$ совпадает с точкой разрыва функции $\operatorname{tg} x$ на данном промежутке:
$- \frac{a}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow a = - \pi$.
3) Корень $x_2$ совпадает с первым корнем $x_1$:
$- \frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow - 2 a = \pi \Rightarrow a = - \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $a < - 2 \pi; a = - \pi; a = - \frac{\pi}{2}; a > 0$

Источник: ФИПИ