Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2}} = x^{2} + 2 x - 3 a$.
Данное иррациональное уравнение равносильно следующей системе:
$\left\{\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} = \left(x^{2} + 2 x - 3 a\right)^{2} \quad ( 1 ) \\ x^{2} + 2 x - 3 a \geq 0 \end{matrix}\right.$

Преобразуем уравнение $( 1 )$, используя формулу квадрата суммы трёх слагаемых $\left(a + b + c\right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc$:
$x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} = x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 2x + 2 \cdot x^{2} \cdot (-3a) + 2 \cdot 2x \cdot (-3a)$
Упростим выражение, сократив одинаковые слагаемые в обеих частях:
$0 = 4x^{3} - 6ax^{2} - 12ax + 4x^{2}$
Сгруппируем и вынесем общий множитель $2x$:
$2x (2x^{2} + 2x - 3ax - 6a) = 0$
Отсюда получаем первый корень $x_{1} = 0$ или уравнение $2x^{2} + x(4 - 3a) - 6a = 0$.

Решим квадратное уравнение относительно $x$:
$D = (4 - 3a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6a) = 16 - 24a + 9a^{2} + 48a = 9a^{2} + 24a + 16 = (3a + 4)^{2}$
Находим корни:
$x_{2} = \frac{-(4 - 3a) + (4 + 3a)}{4} = \frac{6a}{4} = \frac{3}{2}a$
$x_{3} = \frac{-(4 - 3a) - (4 + 3a)}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь проверим, при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $x^{2} + 2x - 3a \geq 0$:
1) Для $x_{1} = 0$:
$0^{2} + 2 \cdot 0 - 3a \geq 0 \Rightarrow -3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$.
Следовательно, $x = 0$ является корнем при $a \in (-\infty; 0]$.

2) Для $x_{2} = \frac{3}{2}a$:
$\left(\frac{3a}{2}\right)^{2} + 2 \cdot \frac{3a}{2} - 3a \geq 0 \Rightarrow \frac{9a^{2}}{4} + 3a - 3a \geq 0 \Rightarrow \frac{9a^{2}}{4} \geq 0$.
Это неравенство верно для любого $a$, значит $x = \frac{3}{2}a$ — корень при всех $a \in \mathbb{R}$.

3) Для $x_{3} = -2$:
$(-2)^{2} + 2 \cdot (-2) - 3a \geq 0 \Rightarrow 4 - 4 - 3a \geq 0 \Rightarrow -3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$.
Значит, $x = -2$ является корнем при $a \in (-\infty; 0]$.

Выясним, когда корни совпадают между собой:
— $x_{1} = x_{2}$ при $0 = \frac{3}{2}a$, то есть при $a = 0$.
— $x_{2} = x_{3}$ при $\frac{3}{2}a = -2$, то есть при $a = -\frac{4}{3}$.
— $x_{1} = x_{3}$ невозможно, так как $0 \neq -2$.

Ответ: $\left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup \left(-\frac{4}{3}; +\infty\right)$

Источник: ФИПИ