Разбор задачи:
Исходное уравнение имеет вид: $25^{x} - (a + 6) 5^{x} = (5 + 3 |a|) 5^{x} + (a + 6) (3 |a| + 5)$. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых уравнение обладает ровно одним действительным корнем.
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно показательной функции:
$25^{x} - (a + 6) 5^{x} - (5 + 3 |a|) 5^{x} - (a + 6) (3 |a| + 5) = 0$
Заметим, что выражение можно представить в виде разложения на множители. Выполним замену переменной $5^{x} = t$, учитывая ограничение $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^{2} - (a + 6 + 5 + 3 |a|) t + (a + 6)(3 |a| + 5) = 0$
Воспользовавшись обратной теоремой Виета, легко найти корни этого квадратного уравнения относительно $t$:
$t_{1} = a + 6$ и $t_{2} = 3 |a| + 5$.
Для того чтобы исходное уравнение имело корни, найденные значения $t$ должны удовлетворять условию $t > 0$.
1) Рассмотрим второй корень $t_{2} = 3 |a| + 5$. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, выражение $3 |a| + 5$ всегда строго больше нуля при любых значениях $a$. Следовательно, один корень $x = \log_{5}(3 |a| + 5)$ существует всегда.
2) Рассмотрим первый корень $t_{1} = a + 6$. Он будет давать решение для $x$, только если $a + 6 > 0$, то есть при $a > -6$.
Чтобы уравнение имело ровно один корень, возможны два случая:
- Либо корень $t_1$ не является положительным ($t_1 \le 0$), тогда остается только корень $t_2$. Это происходит при $a \le -6$.
- Либо оба корня $t_1$ и $t_2$ положительны, но они совпадают между собой.
Приравняем их: $3 |a| + 5 = a + 6$, что сводится к уравнению $3 |a| - a = 1$.
Решим его, рассматривая раскрытие модуля:
Если $a < 0$, то $-3a - a = 1 \Rightarrow -4a = 1 \Rightarrow a = -0,25$.
Если $a \ge 0$, то $3a - a = 1 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = 0,5$.
Оба найденных значения попадают в область $a > -6$, где $t_1 > 0$, и обеспечивают совпадение корней.

Ответ: $(-\infty; -6] \cup \{-0,25\} \cup \{0,5\}$

Источник: ФИПИ