Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
Преобразуем исходное уравнение, перенеся все слагаемые в левую часть для последующей группировки:
$4^{x} + (a - 6) \cdot 2^{x} - (2 + 3|a|) \cdot 2^{x} - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$
Вынесем общий множитель $2^{x}$ за скобки:
$4^{x} + 2^{x}(a - 6 - 2 - 3|a|) - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$
Для удобства представим выражение в следующем виде:
$4^{x} - 2^{x}((6 - a) + (3|a| + 2)) + (6 - a)(3|a| + 2) = 0$
Выполним замену переменной, положив $2^{x} = t$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^{2} - (6 - a + 3|a| + 2)t + (6 - a)(3|a| + 2) = 0$
Воспользовавшись обратной теоремой Виета, легко найти корни этого уравнения:
$t_{1} = 6 - a$ и $t_{2} = 3|a| + 2$
Проанализируем полученные значения с учетом условия $t > 0$:
1) Корень $t_{1} = 6 - a$ существует только тогда, когда $6 - a > 0$, то есть при $a < 6$. Если $a \ge 6$, то данная ветвь решения не дает корней для $x$.
2) Корень $t_{2} = 3|a| + 2$ всегда положителен, так как $|a| \ge 0$, а значит, он дает ровно одно значение $x$ при любых $a$.
Уравнение будет иметь ровно один корень в двух случаях: либо когда один из корней $t$ не подходит (не является положительным), либо когда оба корня совпадают.
Найдем значения параметра, при которых корни совпадают:
$3|a| + 2 = 6 - a$
$3|a| + a = 4$
Раскроем модуль:
При $a \ge 0$: $3a + a = 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
При $a < 0$: $-3a + a = 4 \Rightarrow -2a = 4 \Rightarrow a = -2$.
Также единственный корень будет при $a \ge 6$, так как в этом случае $t_1 \le 0$ и не учитывается.

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; +\infty)$

Источник: ФИПИ