Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

Найдите все значения $a ,$ для каждого из которых уравнение $4^{x} + \left(a - 6\right) 2^{x} = \left(2 + 3 \left|a\right|\right) 2^{x} + \left(a - 6\right) \left(3 \left|a\right| + 2\right)$ имеет единственное решение.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Преобразуем исходное уравнение, перенеся все слагаемые в левую часть для последующей группировки:
$4^{x} + (a - 6) \cdot 2^{x} - (2 + 3|a|) \cdot 2^{x} - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$
Вынесем общий множитель $2^{x}$ за скобки:
$4^{x} + 2^{x}(a - 6 - 2 - 3|a|) - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$
Для удобства представим выражение в следующем виде:
$4^{x} - 2^{x}((6 - a) + (3|a| + 2)) + (6 - a)(3|a| + 2) = 0$
Выполним замену переменной, положив $2^{x} = t$ , где $t > 0$ . Получаем квадратное уравнение относительно $t$ :
$t^{2} - (6 - a + 3|a| + 2)t + (6 - a)(3|a| + 2) = 0$
Воспользовавшись обратной теоремой Виета, легко найти корни этого уравнения:
$t_{1} = 6 - a$ и $t_{2} = 3|a| + 2$
Проанализируем полученные значения с учетом условия $t > 0$ :
1) Корень $t_{1} = 6 - a$ существует только тогда, когда $6 - a > 0$ , то есть при $a < 6$ . Если $a \ge 6$ , то данная ветвь решения не дает корней для $x$ .
2) Корень $t_{2} = 3|a| + 2$ всегда положителен, так как $|a| \ge 0$ , а значит, он дает ровно одно значение $x$ при любых $a$ .
Уравнение будет иметь ровно один корень в двух случаях: либо когда один из корней $t$ не подходит (не является положительным), либо когда оба корня совпадают.
Найдем значения параметра, при которых корни совпадают:
$3|a| + 2 = 6 - a$
$3|a| + a = 4$
Раскроем модуль:
При $a \ge 0$ : $3a + a = 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$ .
При $a < 0$ : $-3a + a = 4 \Rightarrow -2a = 4 \Rightarrow a = -2$ .
Также единственный корень будет при $a \ge 6$ , так как в этом случае $t_1 \le 0$ и не учитывается.

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; +\infty)$

Источник: ФИПИ