Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $\left(x + \ln \left(x + a\right)\right)^{2} = \left(x - \ln \left(x + a\right)\right)^{2}$. Нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right]$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$\left(x + \ln \left(x + a\right)\right)^{2} - \left(x - \ln \left(x + a\right)\right)^{2} = 0$
Раскроем скобки внутри множителей:
$\left(x + \ln(x + a) - x + \ln(x + a)\right) \cdot \left(x + \ln(x + a) + x - \ln(x + a)\right) = 0$
Упростив выражение, получим:
$2 \ln(x + a) \cdot 2x = 0$
Разделим обе части на 4 и учтем область определения логарифма ($x + a > 0$):
$x \cdot \ln(x + a) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $x_1 = 0$. Чтобы этот корень существовал, должно выполняться условие $0 + a > 0$, то есть $a > 0$.
2) $\ln(x + a) = 0$, откуда $x + a = 1$, следовательно, $x_2 = 1 - a$.
Выясним, когда корень $x_2 = 1 - a$ попадает в заданный отрезок $[0; 1]$ и удовлетворяет ОДЗ:
$\begin{cases} (1 - a) + a > 0 \\ 0 \leq 1 - a \leq 1 \end{cases}$
Первое неравенство $1 > 0$ верно при любых $a$. Из второго условия получаем:
$-1 \leq -a \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1$.
Таким образом, корень $x_2$ лежит на отрезке $[0; 1]$ при $a \in [0; 1]$.
Исследуем случай совпадения корней: $x_1 = x_2$ при $0 = 1 - a$, что дает $a = 1$.
Проанализируем количество решений в зависимости от $a$:
- Если $a \leq 0$, то $x_1 = 0$ не является корнем. При этом если $0 \leq a \leq 1$, то есть только корень $x_2$. При $a = 0$ имеем единственный корень $x_2 = 1$.
- Если $0 < a < 1$, то оба значения $x_1 = 0$ и $x_2 = 1 - a$ являются различными корнями на отрезке $[0; 1]$ (всего 2 корня).
- Если $a = 1$, корни совпадают ($x_1 = x_2 = 0$), получаем 1 корень.
- Если $a > 1$, то $x_2 < 0$ (не входит в отрезок), и остается только один корень $x_1 = 0$.

Ответ: $\{0\} \cup [1; +\infty)$

Источник: ФИПИ