Решение:
Пусть $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а $O$ — центр его нижнего основания.

а) 1) Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ также являются образующими, следовательно, прямые $AA_{1}$, $CC_{1}$ и $BB_{1}$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$.
2) Поскольку хорда $AC$ проходит через центр $O$, она является диаметром окружности. Следовательно, вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$.
3) Так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_{1}$ (поскольку образующая перпендикулярна основанию), то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(CBB_{1})$. Отсюда следует, что $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $AB \perp BC_{1}$. Таким образом, $\angle ABC_{1} = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.
б) 4) Заметим, что $BC = B_{1} C_{1}$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{20^{2} + 21^{2}} = \sqrt{400 + 441} = 29.$$
Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{29}{2}$.
Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{б.п.} = 2\pi r \cdot h$, где высота $h = BB_{1} = 15$:
$$S_{б.п.} = 2\pi \cdot \frac{29}{2} \cdot 15 = 29 \cdot 15 \cdot \pi = 435\pi.$$

Ответ: б) $435 \pi$

Источник: ФИПИ