Задание 15

Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий

Задание №15
№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники

Задание №15 — Сечения

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B ,$ а на окружности другого сечения $B_{1}$ и $C_{1} ,$ причем $BB_{1}$ - образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_{1}$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 20 , BB_{1} = 15 , B_{1} C_{1} = 21 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Пусть $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а $O$ — центр его нижнего основания.

а) 1) Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ также являются образующими, следовательно, прямые $AA_{1}$ , $CC_{1}$ и $BB_{1}$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$ .
2) Поскольку хорда $AC$ проходит через центр $O$ , она является диаметром окружности. Следовательно, вписанный угол $ABC$ , опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$ .
3) Так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_{1}$ (поскольку образующая перпендикулярна основанию), то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(CBB_{1})$ . Отсюда следует, что $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $AB \perp BC_{1}$ . Таким образом, $\angle ABC_{1} = 90^{\circ}$ , что и требовалось доказать.
б) 4) Заметим, что $BC = B_{1} C_{1}$ .
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ :
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{20^{2} + 21^{2}} = \sqrt{400 + 441} = 29.$
Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{29}{2}$ .
Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{б.п.} = 2\pi r \cdot h$ , где высота $h = BB_{1} = 15$ :
$S_{б.п.} = 2\pi \cdot \frac{29}{2} \cdot 15 = 29 \cdot 15 \cdot \pi = 435\pi.$

Ответ: б) $435 \pi$

Источник: ФИПИ