Задание №15 — Сечения

Решение:

Дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит трапеция $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$, при этом $\alpha \parallel SO$.
а) 1) Пусть $MN$ — средняя линия трапеции. Обозначим точки пересечения $MN$ с диагоналями $AC$ и $BD$ как $E$ и $F$ соответственно.
2) В плоскостях $ASC$ и $BSD$ через точки $E$ и $F$ проведем прямые, параллельные высоте $SO$ (так как сечение параллельно $SO$). Пусть они пересекают боковые ребра в точках $K$ и $L$.
3) Рассмотрим $\triangle AOD$. Поскольку $EF \parallel AD$, имеем $\triangle EOF \sim \triangle AOD$ по двум углам ($\angle AOD$ — общий, $\angle FEO = \angle DAO$ как соответственные). Из подобия следует: $\frac{EO}{AO} = \frac{OF}{OD}$, откуда получаем пропорцию $\frac{AE}{EO} = \frac{FD}{OF}$.
4) В плоскости $ASC$ рассмотрим $\triangle ASO$. Так как $KE \parallel SO$, то $\triangle AKE \sim \triangle ASO$. Следовательно, $\frac{AE}{AO} = \frac{AK}{AS}$, что дает нам соотношение $\frac{AE}{EO} = \frac{AK}{KS}$.
5) Аналогично в плоскости $DSO$, из параллельности $LF \parallel SO$ вытекает подобие $\triangle LDF \sim \triangle SDO$. Тогда $\frac{LD}{SD} = \frac{FD}{OD}$, откуда $\frac{SL}{LD} = \frac{OF}{FD}$.
6) Объединяя результаты шагов 3, 4 и 5, получаем: $\frac{SL}{LD} = \frac{OF}{FD} = \frac{EO}{AE} = \frac{KS}{AK}$. Равенство $\frac{SL}{LD} = \frac{KS}{AK}$ по теореме Фалеса означает, что $KL \parallel AD$.
7) Так как $MN \parallel AD$ (средняя линия) и $KL \parallel AD$, то $KL \parallel MN$. Следовательно, четырехугольник $MKLN$ является трапецией, что и требовалось доказать.
б) 8) По условию $SO \bot AD$, значит $SO \bot MN$. Поскольку $KE \parallel SO$ и $LF \parallel SO$, отрезки $KE$ и $LF$ перпендикулярны $MN$. Так как $KL \parallel MN$ и $KE \parallel LF$, фигура $KEFL$ — прямоугольник, и $KE = LF$ является высотой трапеции $MKLN$.
9) Длина средней линии $MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
10) Рассмотрим треугольники на диагоналях. $ME$ — часть средней линии, $\triangle MAE \sim \triangle BAC$, откуда $ME = \frac{BC}{2}$. Аналогично $FN = \frac{BC}{2}$.
Тогда отрезок $EF = MN - ME - FN = MN - BC = \frac{AD + BC}{2} - BC = \frac{AD - BC}{2}$.
Подставляя значения: $EF = \frac{10 - 8}{2} = 1$.
11) Из свойств параллельности в пункте 8 следует, что $KL = EF = 1$.
12) Из подобия $\triangle AKE \sim \triangle ASO$ имеем $\frac{EK}{SO} = \frac{AE}{AO}$.
Так как $E$ делит $AO$ в определенном отношении (из свойств средней линии трапеции), можно вычислить, что $\frac{AE}{AO} = \frac{9}{10}$.
Тогда $EK = \frac{9}{10} SO = \frac{9}{10} \cdot 8 = 7{,}2$.
13) Находим площадь сечения: $S_{MKLN} = \frac{MN + KL}{2} \cdot KE = \frac{9 + 1}{2} \cdot 7{,}2 = 5 \cdot 7{,}2 = 36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ