Решение:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. По условию плоскость $\alpha$ содержит диагональ $BD_{1}$, параллельна прямой $AC$ и представляет собой ромб. Высота параллелепипеда $AA_{1} = 10$, а ребро основания $AB = 12$.
а) 1) Построим сечение. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения с продолжением стороны $DA$ в точке $K$.
2) Соединим $K$ с $D_{1}$. Через точку $D_{1}$ проведем прямую, параллельную $KB$. Пусть точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, а точка $N$ — на ребре $CC_1$. Сечение $MD_1NB$ является искомым ромбом.
3) Поскольку $KA \parallel BC$ и $AC \parallel KB$, четырехугольник $AKBC$ является параллелограммом. Отсюда следует, что $AK = BC = AD$. Так как $AM \parallel DD_{1}$ и $AK = AD$, то отрезок $AM$ является средней линией в треугольнике $KDD_1$, следовательно, $M$ — середина $AA_1$, то есть $AM = MA_{1} = 5$.
4) Применим теорему Пифагора для треугольника $MAB$: $MB^{2} = AM^{2} + AB^{2}$.
Аналогично для треугольника $MA_{1} D_{1}$: $MD_{1}^{2} = A_{1} M^{2} + A_{1} D_{1}^{2}$.
Так как сечение — ромб, его стороны равны: $MB = MD_{1}$. Тогда $AM^{2} + AB^{2} = A_{1} M^{2} + A_{1} D_{1}^{2}$. Учитывая, что $AM = A_1M$, получаем $AB = A_{1} D_{1}$. Следовательно, $AB = AD$, и прямоугольник $ABCD$ в основании является квадратом. Что и требовалось доказать.
б) 5) В ромбе $MD_{1} NB$ диагонали перпендикулярны: $D_{1} B \bot MN$. Так как $MN \parallel AC$ и $AC \parallel KB$, то $MN \parallel KB$, откуда следует $D_{1} B \bot KB$.
6) Опустим высоту $BH$ в прямоугольном треугольнике $KBD_{1}$ на гипотенузу $KD_1$.
7) Заметим, что $AB \bot (AKD_1)$. Поскольку $BH \bot KD_1$, по теореме о трех перпендикулярах (обратной) проекция $AH$ также будет перпендикулярна $KD_1$. Значит, искомый двугранный угол между плоскостью ромба и боковой гранью равен углу $BHA$.
Найдем $AH$ как высоту в прямоугольном треугольнике $MAK$: $AH = \frac{AK \cdot AM}{KM}$.
По теореме Пифагора $KM = \sqrt{AK^{2} + AM^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$.
Тогда $AH = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$.
В треугольнике $ABH$ ($\angle BAH = 90^\circ$): $\operatorname{tg} \angle BHA = \frac{AB}{AH} = \frac{12}{60/13} = \frac{13}{5}$.
Следовательно, $\angle BHA = \operatorname{arctg} \left(\frac{13}{5}\right)$.

Ответ: $\operatorname{arctg} \left(\frac{13}{5}\right)$

Источник: ФИПИ