Задание №15 — Объемы

Решение:

Дана четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция $ABCD$. Известны параметры: $AD = 8$, $BC = 3$. Точки на рёбрах заданы отношениями $SM : MD = 3 : 2$ и $BN : NC = 1 : 2$.
а) 1) Выполним дополнительное построение: продлим прямую $AN$ до её пересечения с прямой $CD$. Обозначим точку пересечения как $E$.
2) Проведём отрезок $EM$. Пусть он пересекает ребро $SC$ в точке $K$. Также соединим точки $A$ и $M$.
3) Определим длины отрезков на основании $BC$. Пусть $BN = x$, тогда $NC = 2x$. Так как $BC = 3x = 3$, получаем $BN = 1$ и $NC = 2$.
4) Рассмотрим треугольники $NEC$ и $AED$. У них угол $\angle AED$ является общим, а $\angle BCE = \angle ADE$ как соответственные при параллельных прямых. Следовательно, $\triangle NEC \sim \triangle AED$.
Из подобия находим коэффициент: $\frac{NC}{AD} = \frac{EC}{ED} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
5) Перейдём к рассмотрению грани $SCD$:

Применим теорему Менелая для треугольника $SCD$ и прямой $EMK$: $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{CE}{ED} \cdot \frac{DM}{MS} = 1$.
Подставим известные отношения: $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$.
Отсюда получаем $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{1}{6} = 1$, то есть $SK : KC = 6 : 1$. Что и требовалось доказать.
б) 6) Пусть $SO$ — перпендикуляр (высота) пирамиды к плоскости основания, а $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ на основание.
7) Треугольники $SDO$ и $MDH$ подобны по двум углам (общий угол при вершине $D$ и прямые углы при основаниях высот).
Тогда $\frac{MH}{SO} = \frac{MD}{SD} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$, значит, $MH = \frac{2}{5} SO$.
8) Выразим площади через высоту трапеции $h$:
$S_{ANCD} = \frac{NC + AD}{2} \cdot h = \frac{2 + 8}{2} \cdot h = 5h$.
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3 + 8}{2} \cdot h = \frac{11}{2}h$.
9) Рассмотрим сечение плоскостью $SOC$:

Аналогично подобию высот, из $\triangle SOC \sim \triangle KH_1C$ следует: $\frac{KH_1}{SO} = \frac{KC}{SC}$.
Так как $SK : KC = 6 : 1$, то $SC = 7 \cdot KC$, следовательно, $\frac{KH_1}{SO} = \frac{1}{7}$, то есть $KH_1 = \frac{1}{7} SO$.
10) Из подобия $\triangle NEC \sim \triangle AED$ с коэффициентом $k = \frac{1}{4}$ следует, что их площади относятся как $k^2$:
$S_{AED} = 16 S_{NEC}$.
Площадь трапеции $ANCD$ можно представить как разность: $S_{ANCD} = S_{AED} - S_{NEC} = 15 S_{NEC}$.
11) Объём части $ANCDKM$ найдём как разность объёмов пирамид $EADM$ и $EKNC$:
$V_{ANCDKM} = \frac{1}{3} \cdot MH \cdot S_{AED} - \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{NEC} =$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} SO \cdot 16 S_{NEC} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} SO \cdot S_{NEC} = \left( \frac{32}{15} - \frac{1}{21} \right) SO \cdot S_{NEC} = \frac{219}{105} SO \cdot S_{NEC}$.
12) Свяжем это с общим объёмом. Так как $S_{ANCD} = 5h = 15 S_{NEC}$, то $S_{NEC} = \frac{1}{3} h$.
Полный объём пирамиды $V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot \frac{11}{2} h = \frac{11}{6} SO \cdot h$.
Объём второй части $V_{ABNKMS} = V_{SABCD} - V_{ANCDKM}$.
Вычислим $V_{ANCDKM} = \frac{219}{105} SO \cdot \frac{h}{3} = \frac{73}{105} SO \cdot h$.
Тогда $V_{ABNKMS} = \frac{11}{6} SO \cdot h - \frac{73}{105} SO \cdot h = \frac{385 - 146}{210} SO \cdot h = \frac{239}{210} SO \cdot h$.
Найдём искомое отношение объёмов:
$\frac{V_{ABNKMS}}{V_{ANCDKM}} = \frac{239}{210} : \frac{73}{105} = \frac{239}{210} \cdot \frac{105}{73} = \frac{239}{146}$.

Ответ: $\frac{239}{146}$

Источник: ФИПИ