Решение:

Дано: $\angle ACB = 45^{\circ}$, $AB = 2 \sqrt{3}$, высота цилиндра $CC_{1} = 2 \sqrt{6}$.
а) 1) Отрезок $BB_{1}$ является образующей цилиндра, следовательно, $BB_{1} = CC_{1} = 2 \sqrt{6}$.
2) Поскольку $AC$ — диаметр основания, вписанный угол $ABC$ опирается на него и равен $90^{\circ}$. Так как $\angle ACB = 45^{\circ}$, то $\triangle ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Отсюда получаем: $BC = AB = 2 \sqrt{3}$, а гипотенуза $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12 + 12} = 2 \sqrt{6}$.
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AB_{1}B$. По теореме Пифагора:
$AB_{1} = \sqrt{B_{1}B^2 + AB^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 12} = 6$.
Заметим также, что $B_{1}C_{1} = BC = 2 \sqrt{3}$.
4) Теперь найдем диагональ $AC_{1}$ из прямоугольного треугольника $AC_{1}C$:
$AC_{1} = \sqrt{C_{1}C^2 + AC^2} = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$.
5) Проверим выполнение теоремы Пифагора для сторон треугольника $AB_{1}C_{1}$:
$AB_{1}^{2} + B_{1}C_{1}^{2} = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$.
Так как $AC_{1}^{2} = (4\sqrt{3})^2 = 48$, то равенство $AB_{1}^{2} + B_{1}C_{1}^{2} = AC_{1}^{2}$ выполняется. Значит, по обратной теореме Пифагора $\triangle AB_{1}C_{1}$ прямоугольный ($\angle AB_{1}C_{1} = 90^{\circ}$).
Вычислим косинус угла $AC_{1}B_{1}$: $\cos(\angle AC_{1}B_{1}) = \frac{B_{1}C_{1}}{AC_{1}} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle AC_{1}B_{1} = 60^{\circ}$, что и требовалось доказать.
б) 6) Аналогично пункту 3, из треугольника $BCC_{1}$ находим $BC_{1} = \sqrt{BC^2 + CC_{1}^2} = \sqrt{12 + 24} = 6$. Таким образом, $BC_{1} = AB_{1} = 6$.
7) Проверим вид треугольника $ABC_{1}$:
$AB^2 + BC_{1}^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48$.
Поскольку $AC_{1}^2 = 48$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC_{1}$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
8)

Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AC_{1}$ в треугольнике $ABC_{1}$.
Ее длина вычисляется по формуле: $BH = \frac{AB \cdot BC_{1}}{AC_{1}}$.
Подставляем значения: $BH = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 6}{4 \sqrt{3}} = \frac{12}{4} = 3$.

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ