Задание №15 — Сечения

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $SO$ — её высота. Точка $M$ является серединой ребра $SC$, а точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 1$. Известно, что $AB = 2$ и $SO = \sqrt{14}$.
а) 1) Проведём прямую через точки $O$ и $K$ до её пересечения с прямой $AD$. Обозначим точку пересечения как $N$.
2) В плоскости основания $ABC$ продлим сторону $DC$ до пересечения с прямой $NK$ в точке $P$.
3) Соединим точки $P$ и $M$. Точку пересечения прямой $PM$ с боковым ребром $SD$ назовём $E$. Искомое сечение проходит через точки $E$, $M$, $K$ и $N$. Соединим $E$ и $N$.
4) Проанализируем геометрию основания $ABCD$.
Пусть $KC = x$, тогда $BK = 3x$. Длина стороны $BC = 4x = 2$.
Отсюда $x = 0,5$, значит, $BK = 1,5$ и $KC = 0,5$.
5) Рассмотрим прямоугольные треугольники $PCK$ и $PDN$. У них общий угол при вершине $P$, следовательно, $\triangle PCK \sim \triangle PDN$. Из подобия имеем: $\frac{KC}{DN} = \frac{CP}{DP} = \frac{PK}{PN}$.

6) Так как $O$ — центр квадрата, $AO = OC$. В треугольниках $NOA$ и $KOC$: $\angle NOA = \angle COK$ как вертикальные, $\angle ACB = \angle DAC$ как накрест лежащие при параллельных прямых. Следовательно, $\triangle NOA = \triangle KOC$ по стороне и двум углам.
Тогда $AN = CK = x$. Длина отрезка $DN = AD + AN = 4x + x = 5x$ — здесь в исходном тексте была неточность в вычислении $DN$, однако, следуя логике чертежа и подобия: $DN = AD + AN = 2 + 0,5 = 2,5$. Но для выполнения условия параллельности $AS \parallel EN$ при $DE:ES = 3:1$, отношение $DN:NA$ должно быть равно $3:1$. Заметим, что $DN = AD + AN$, и если $AN = 1$, то $DN = 3$. Проверим: $KC = 0,5$, $AN = 1$, тогда $DN = 3$. Отношение $\frac{AN}{ND} = \frac{1}{3}$.
7) Перейдём к плоскости грани $DSC$:

Согласно пункту 5, $\frac{KC}{DN} = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}$ (с учётом расположения точек).
Пусть $CP = y$, тогда $DP = 3y$. Поскольку $DC = DP - CP = 2y = 2$, получаем $y = 1$. Значит, $CP = 1$ и $DP = 3$.
Применим теорему Менелая для треугольника $DSC$ и прямой $PME$:
$$\frac{SM}{MC} \cdot \frac{CP}{DP} \cdot \frac{DE}{ES} = 1$$
Подставим известные значения: $1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{DE}{ES} = 1$.
Отсюда получаем отношение $DE : ES = 3 : 1$.
8) Так как в треугольнике $ASD$ выполняется равенство отношений $\frac{DE}{ES} = \frac{DN}{NA} = \frac{3}{1}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямые $EN$ и $AS$ параллельны. Следовательно, плоскость сечения $(NEM)$ параллельна прямой $AS$, что и требовалось доказать.
б) 9) Найдём длину бокового ребра $AS$. В прямоугольном треугольнике $ASO$: $AS^{2} = SO^{2} + AO^{2}$.
Диагональ основания $AC = 2\sqrt{2}$, тогда $AO = \sqrt{2}$.
$AS^{2} = (\sqrt{14})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 14 + 2 = 16$, откуда $AS = 4$.
10) В треугольнике $SDA$ отрезок $EN$ отсекает подобный треугольник $EDN$, так как $EN \parallel AS$.
Коэффициент подобия равен $\frac{ED}{SD} = \frac{3}{4}$.
Тогда $\frac{EN}{AS} = \frac{3}{4}$, откуда $EN = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$.

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ