Задание №15 — Сечения

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $AB$ и $SB$ соответственно. Согласно условию: $AM = 2$, $SK = 1$, сторона основания $AB = 8$, боковое ребро $SA = 7$.
а) 1) Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит квадрат $ABCD$, следовательно, угол $\angle ABC = 90^{\circ}$. Отрезок $MB = AB - AM = 8 - 2 = 6$.
2) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $MBC$:
$MC = \sqrt{BC^{2} + MB^{2}} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$.
3) Пусть $SO$ — высота данной пирамиды, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Найдём её длину из треугольника $SOB$:
$SO = \sqrt{SB^{2} - BO^{2}}$. Так как диагональ $BD = 8\sqrt{2}$, то $BO = 4\sqrt{2}$.
$SO = \sqrt{7^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$.
4) Проанализируем плоскость основания $ABCD$:

Пусть $H$ — точка пересечения $MC$ и $BD$. Треугольники $MHB$ и $CHD$ подобны по двум углам ($\angle DHC = \angle MHB$ как вертикальные, $\angle MCB = \angle MDC$ как накрест лежащие при параллельных прямых).
Коэффициент подобия: $\frac{MB}{DC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Тогда $\frac{HB}{HD} = \frac{3}{4}$. Учитывая, что $BD = 8\sqrt{2}$, получаем:
$HB = \frac{3}{7} BD = \frac{3}{7} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{24\sqrt{2}}{7}$.
5) Заметим, что отношение $\frac{KB}{SB} = \frac{7-1}{7} = \frac{6}{7}$.
Вычислим отношение $\frac{HB}{OB} = \frac{24\sqrt{2}}{7} : 4\sqrt{2} = \frac{24\sqrt{2}}{7 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{6}{7}$.
Так как $\frac{KB}{SB} = \frac{HB}{OB}$, по теореме, обратной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $KBH$ и $SBO$), следует, что $KH \parallel SO$.
Поскольку $SO \perp (ABC)$, то и параллельная ей прямая $KH \perp (ABC)$, что и требовалось доказать.
б) 6) Так как $KH$ перпендикулярна плоскости основания, она является высотой пирамиды $KMBC$, опущенной на грань $MBC$.
7) Из подобия $\triangle KHB \sim \triangle SOB$ находим длину высоты:
$KH = \frac{6}{7} SO = \frac{6}{7} \sqrt{17}$.
8) Площадь прямоугольного треугольника $MBC$ равна:
$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
9) Вычислим объём пирамиды $KMBC$:
$V_{KMBC} = \frac{1}{3} \cdot S_{MBC} \cdot KH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{6\sqrt{17}}{7} = \frac{48\sqrt{17}}{7}$.

Ответ: б) $\frac{48\sqrt{17}}{7}$

Источник: ФИПИ