В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равно 8, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM=2,SK=1. а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. б) Найдите объем пирамиды BCKM.
Ваше решениедо 3 баллов
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение: Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точки M и K лежат на рёбрах AB и SB соответственно. Согласно условию: AM=2, SK=1, сторона основания AB=8, боковое ребро SA=7. а) 1) Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит квадрат ABCD, следовательно, угол ∠ABC=90∘. Отрезок MB=AB−AM=8−2=6. 2) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MBC: MC=BC2+MB2=82+62=64+36=10. 3) Пусть SO — высота данной пирамиды, где O — точка пересечения диагоналей квадрата. Найдём её длину из треугольника SOB: SO=SB2−BO2. Так как диагональ BD=82, то BO=42. SO=72−(42)2=49−32=17. 4) Проанализируем плоскость основания ABCD: Пусть H — точка пересечения MC и BD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам (∠DHC=∠MHB как вертикальные, ∠MCB=∠MDC как накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия: DCMB=86=43. Тогда HDHB=43. Учитывая, что BD=82, получаем: HB=73BD=73⋅82=7242. 5) Заметим, что отношение SBKB=77−1=76. Вычислим отношение OBHB=7242:42=7⋅42242=76. Так как SBKB=OBHB, по теореме, обратной теореме Фалеса (или из подобия треугольников KBH и SBO), следует, что KH∥SO. Поскольку SO⊥(ABC), то и параллельная ей прямая KH⊥(ABC), что и требовалось доказать. б) 6) Так как KH перпендикулярна плоскости основания, она является высотой пирамиды KMBC, опущенной на грань MBC. 7) Из подобия △KHB∼△SOB находим длину высоты: KH=76SO=7617. 8) Площадь прямоугольного треугольника MBC равна: SMBC=21⋅MB⋅BC=21⋅6⋅8=24. 9) Вычислим объём пирамиды KMBC: VKMBC=31⋅SMBC⋅KH=31⋅24⋅7617=74817.
