Решение:

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$. Согласно условию, стороны основания $AB = BC = AC = 5$, а боковые ребра $AD = BD = CD = 9$. Точка $T$ делит ребро $AD$ в отношении $AT : TD = 1 : 2$.
а) 1) По условию плоскость сечения проходит через точку $T$ параллельно прямым $BD$ и $AC$. Следовательно, линии пересечения сечения с гранями будут параллельны этим прямым: $TN \parallel BD$ и $TM \parallel AC$.
Проведем через точку $M$ прямую $ME$, параллельную $BD$. Соединив точки $N$ и $E$, получим четырехугольник $TMEN$, являющийся искомым сечением.
2) В основании лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $5$, боковые ребра пирамиды равны $9$.
3) Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках:
Из параллельности $TN \parallel BD$ следует, что $\frac{AN}{NB} = \frac{AT}{TD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $TM \parallel AC$ следует, что $\frac{DM}{MC} = \frac{DT}{TA} = \frac{2}{1}$, то есть $\frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $ME \parallel BD$ следует, что $\frac{CE}{EB} = \frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Заметим, что $\frac{CE}{EB} = \frac{AN}{NB} = \frac{1}{2}$. Это означает, что прямая $NE$ параллельна стороне $AC$.
Таким образом, в четырехугольнике $TMEN$ противоположные стороны попарно параллельны ($TM \parallel NE \parallel AC$ и $TN \parallel ME \parallel BD$), значит, $TMEN$ — параллелограмм.
4) Проведем апофему $DH$ в грани $ADC$ и медиану $BH$ в основании $ABC$.

Так как $DH \perp AC$ и $BH \perp AC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBH$. Следовательно, $AC \perp BD$.
5) Поскольку $TN \parallel BD$ и $NE \parallel AC$, а $BD \perp AC$, то и $TN \perp NE$.
6) Параллелограмм $TMEN$, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
б) 7) Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $TN \parallel BD$, то $\triangle ANT \sim \triangle ABD$ по двум углам (угол $A$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{AT}{AD} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
Отсюда $NT = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
8) Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $TM \parallel AC$, то $\triangle TDM \sim \triangle ADC$ (угол $D$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{DT}{DA} = \frac{2}{3}$.
Тогда $TM = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.
Площадь прямоугольника $TMEN$ вычисляется как произведение его сторон:
$S_{TMEN} = TN \cdot TM = 3 \cdot \frac{10}{3} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ