Задание №15 — Сечения

Решение:

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$. Согласно условию, сторона основания $AB = 6$, боковое ребро $AD = 5$, а точка $T$ делит ребро $AD$ в отношении $AT : TD = 2 : 1$.
а) 1) Построим сечение, проходящее через прямые $TN$ и $TM$, которые параллельны $BD$ и $AC$ соответственно.
В плоскости основания $ABC$ через точку $N$ проведем прямую, параллельную $AC$. Обозначим точку её пересечения с ребром $BC$ как $E$. Соединим точки $M$ и $E$.
2) В основании лежит правильный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = AC = 6$. Боковые ребра равны: $AD = BD = CD = 5$.
3) Из параллельности $TN \parallel BD$ следует подобие треугольников, откуда $AN : NB = AT : TD = 2 : 1$.
Так как $NE \parallel AC$, то по теореме Фалеса $BE : EC = AN : NB = 2 : 1$.
Аналогично, из $TM \parallel AC$ получаем $CM : MD = AT : TD = 2 : 1$.
Заметим, что $CM : MD = BE : EC = 2 : 1$, следовательно, прямая $ME$ параллельна ребру $BD$.
3) В четырехугольнике $TMEN$ противоположные стороны попарно параллельны ($ME \parallel TN$ и $TM \parallel NE$), значит, $TMEN$ является параллелограммом.
4) Проведем медианы $DH$ и $BH$ к стороне $AC$ в гранях $ADC$ и $ABC$ соответственно.

Поскольку треугольники $ADC$ и $ABC$ равнобедренные, $DH$ и $BH$ также являются высотами. Так как $AC \perp DH$ и $AC \perp BH$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AC \perp (BDH)$. Следовательно, $AC \perp BD$.
5) Учитывая, что $TN \parallel BD$ и $NE \parallel AC$, а $BD \perp AC$, получаем, что $TN \perp NE$.
6) Параллелограмм $TMEN$, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
б) 7) Рассмотрим грань $ABD$. Треугольники $ANT$ и $ABD$ подобны по общему углу $A$ и пропорциональности прилежащих сторон ($\frac{AN}{AB} = \frac{AT}{AD} = \frac{2}{3}$).
Тогда $NT = \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.
8) В грани $ADC$ треугольник $TDM$ подобен треугольнику $ADC$ (угол $D$ общий, $\frac{DT}{DA} = \frac{DM}{DC} = \frac{1}{3}$).
Отсюда находим сторону $TM$: $TM = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.
Вычислим площадь прямоугольника $TMEN$:
$$S_{TMEN} = TM \cdot TN = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}.$$

Ответ: $\frac{20}{3}$

Источник: ФИПИ