В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре отмечена точка так, что Через точку парралельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение:
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду . Согласно условию, сторона основания , боковое ребро , а точка делит ребро в отношении .
а) 1) Построим сечение, проходящее через прямые и , которые параллельны и соответственно.
В плоскости основания через точку проведем прямую, параллельную . Обозначим точку её пересечения с ребром как . Соединим точки и .
2) В основании лежит правильный треугольник со сторонами . Боковые ребра равны: .
3) Из параллельности следует подобие треугольников, откуда .
Так как , то по теореме Фалеса .
Аналогично, из получаем .
Заметим, что , следовательно, прямая параллельна ребру .
3) В четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны ( и ), значит, является параллелограммом.
4) Проведем медианы и к стороне в гранях и соответственно.
Поскольку треугольники и равнобедренные, и также являются высотами. Так как и , то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Следовательно, .
5) Учитывая, что и , а , получаем, что .
6) Параллелограмм , имеющий прямой угол, является прямоугольником.
б) 7) Рассмотрим грань . Треугольники и подобны по общему углу и пропорциональности прилежащих сторон ().
Тогда .
8) В грани треугольник подобен треугольнику (угол общий, ).
Отсюда находим сторону : .
Вычислим площадь прямоугольника :
Ответ:
Источник: ФИПИ