Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $MCDA$. Так как он вписан в окружность и является трапецией, то эта трапеция — равнобедренная. Отсюда следует равенство боковых сторон $AM = CD$, а значит, и равенство дуг, на которые они опираются. Следовательно, вписанные углы $\angle MDA$ и $\angle CAD$ равны.
Учитывая параллельность оснований трапеции, имеем $\angle MDA = \angle DMC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MC$ и $AD$.
Заметим, что $\angle AMD = 90^{\circ}$, поскольку он опирается на диаметр окружности.
Тогда для угла $\angle BMA$ получаем: $\angle BMA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle DMC = 90^{\circ} - \angle CAD$.
В прямоугольном треугольнике $ABM$ находим угол $\angle BAM$: $\angle BAM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (90^{\circ} - \angle CAD) = \angle CAD$. Что и требовалось доказать.
б) Из равенства прямоугольных треугольников $ABM$ и $CDG$ (по гипотенузе и катету) следует, что $BM = CF$.

Треугольники $ABM$ и $ABC$ подобны по двум углам, откуда запишем отношение сторон:
$$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{AB}$$
Пусть $BM = x$, тогда $BC = 2x$. Подставим значения: $\frac{\sqrt{10}}{2x} = \frac{x}{\sqrt{10}}$. Решая уравнение $2x^2 = 10$, находим $x = \sqrt{5}$.
Рассмотрим подобие треугольников $AOD$ и $COB$ (по двум углам):
$$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{2x + x}{2x} = \frac{3}{2}$$
Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} = 5\sqrt{2}$.
Площадь треугольника $AOB$ можно выразить через площадь $ABC$, учитывая общее основание и отношение отрезков диагонали $AC$:
$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{AO}{AC} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \text{ (исходя из отношения } \frac{AO}{OC} = \frac{3}{2} \text{ имеем } \frac{AO}{AC} = \frac{3}{5})$.
Однако, следуя логике исходных вычислений: $S_{\triangle AOB} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{3}{5} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3 \sqrt{2}$

Источник: ФИПИ