Задание №18 — Окружности и треугольники

Решение:

а) Рассмотрим четырехугольник $HNAM$. Поскольку сумма противоположных углов $\angle HMA + \angle HNA = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$, около него можно описать окружность. Отрезок $AH$ является диаметром этой окружности, так как на него опираются прямые углы.
Согласно теореме синусов для треугольника $AMN$: $\frac{MN}{\sin \angle MAN} = AH$. Отсюда получаем зависимость $AH = \frac{MN}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2 MN}{\sqrt{3}}$.
Точки $B, M, N, C$ лежат на одной окружности, так как из точек $M$ и $N$ сторона $BC$ видна под одним и тем же углом ($\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$).
Из подобия треугольников $MAN$ и $ABC$ (у них общий угол $A$ и пропорциональные стороны, прилежащие к нему: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \cos \angle A$) следует, что коэффициент подобия равен $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
Значит, $\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}$, то есть $BC = 2 MN$.
Применим теорему синусов для треугольника $ABC$: радиус описанной окружности $R = \frac{BC}{2 \sin \angle A} = \frac{2 MN}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 MN}{\sqrt{3}}$.
Таким образом, $R = AH$, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике $ABC$ точка $H$ является ортоцентром. В системе точек $A, B, C, H$ точка $A$ будет точкой пересечения высот для треугольника $BCH$. Пусть прямая $HA$ пересекает $BC$ в точке $\alpha$, тогда $H\alpha \perp BC$.

Нам необходимо найти площадь треугольника $AHO$. Угол $\angle HAO$ можно найти как $180^{\circ} - \angle \alpha AO$.
Вычислим углы: $\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 105^{\circ} = 15^{\circ}$.
Центральный угол $\angle AOB = 2 \angle ACB = 30^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ (где $AO = OB = R$) углы при основании равны: $\angle BAO = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$.
Из прямоугольного треугольника $AB\alpha$ находим $\angle BA\alpha = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 105^{\circ}$ (используем смежный угол или направление высоты), что дает нам $\angle BA\alpha = 45^{\circ}$.
Тогда $\angle \alpha AO = \angle BAO - \angle BA\alpha = 75^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ}$.
Следовательно, $\angle HAO = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Найдем радиус $R = AO$ из треугольника $ABC$: $2 AO = \frac{BC}{\sin 60^{\circ}} \Rightarrow AO = \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{5}$.
Поскольку $AH = R = \sqrt{5}$, площадь треугольника $AHO$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle AHO} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin 150^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$

Источник: ФИПИ