Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $CNO$. Он является равнобедренным, так как $CN = ON$, следовательно, углы при основании равны: $\angle OCN = \angle CON$. Учитывая, что $CO$ — биссектриса, имеем $\angle CON = \angle BCO$, откуда следует параллельность прямых $ON \parallel BC$. Аналогично, в равнобедренном треугольнике $AOM$ (где $AM = OM$) углы $\angle MAO$ и $\angle MOA$ равны. Так как $AO$ — биссектриса, то $\angle MOA = \angle OAD$, что дает $OM \parallel AD$.
Поскольку $BC \parallel AD$, то и $ON \parallel AD$. Таким образом, обе прямые $OM$ и $ON$ параллельны $AD$ и имеют общую точку $O$. Значит, точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
б) Трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому сумма углов при боковой стороне составляет $180^{\circ}$, а значит, сумма их половин $\angle OAD + \angle BCO = 90^{\circ}$.
Опустим перпендикуляр $FK$ к основанию $AD$ через точку $O$.
В прямоугольном треугольнике $AOK$ угол $\angle AOK = 90^{\circ} - \angle OAK = \angle BCO$. Тогда треугольники $AOK$ и $FOC$ равны по гипотенузе и острому углу. Согласно теореме Фалеса и свойствам подобия:
$\frac{AM}{BM} = \frac{OK}{OF} = \frac{OK}{AK} = \operatorname{tg} \angle OAK$.
Пусть $\angle OAK = \alpha$, тогда $\angle BAD = \angle CDA = 2\alpha$.
Пусть $BC = 17x$ и $AD = 31x$. Проведем высоту $CH$. Отрезок $DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{31x - 17x}{2} = 7x$, тогда $AH = AD - DH = 24x$.
Заметим, что $CH = FK = OF + OK = AK + FC = AK$.
Тогда $\operatorname{tg} \angle CDA = \frac{CH}{HD} = \frac{24x}{7x} = \frac{24}{7}$.

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
Подставим значение $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{24}{7}$ и решим уравнение относительно $t = \operatorname{tg} \alpha$:
$$\frac{24}{7} = \frac{2t}{1 - t^2} \Rightarrow 12(1 - t^2) = 7t \Rightarrow 12t^2 + 7t - 12 = 0$$
Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = \frac{3}{4}$ и $t_2 = -\frac{4}{3}$.
Так как угол $\alpha$ острый, выбираем положительное значение: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}$.
Следовательно, искомое отношение $\frac{AM}{BM} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

Источник: ФИПИ