Задание №6 — Логарифмические уравнения

Разбор задачи:
Дано уравнение: $\log _{2} \left(x + 5\right) = \log _{4} \left(1 - x\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x + 5 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$
Отсюда получаем интервал: $-5 < x < 1$.
Приведем логарифмы к общему основанию $2$, используя свойство $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$:
$\log _{2} (x + 5) = \log _{2^2} (1 - x)$
$\log _{2} (x + 5) = \frac{1}{2} \log _{2} (1 - x)$
Умножим обе части на $2$ и внесем множитель в показатель степени аргумента:
$2\log _{2} (x + 5) = \log _{2} (1 - x)$
$\log _{2} (x + 5)^2 = \log _{2} (1 - x)$
Теперь перейдем к равенству подлогарифмических выражений:
$(x + 5)^2 = 1 - x$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
$x^2 + 10x + 25 = 1 - x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$x^2 + 11x + 24 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней квадратного уравнения:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -11 \\ x_1 \cdot x_2 = 24 \end{cases}$
Получаем два значения: $x_1 = -8$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-5 < x < 1$):
Число $-8$ не входит в этот промежуток, а число $-3$ удовлетворяет условию.
Таким образом, решением является только $x = -3$.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ