Решение:

По условию стороны основания равны: $AB = BC = AC = 6 \sqrt{2}$.
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ADB$ и $BDC$. Применяя теорему Пифагора, запишем:
$AB^{2} = DB^{2} + AD^{2}$
$BC^{2} = DB^{2} + DC^{2}$
Поскольку $AB = BC$, из этих равенств следует, что $AD = DC$.
2) Теперь обратимся к треугольникам $ADC$ и $BDC$. Снова воспользуемся теоремой Пифагора:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$BC^{2} = DB^{2} + DC^{2}$
Так как $AC = BC$, получаем равенство катетов: $AD = DB$. Таким образом, $AD = DB = DC$. Учитывая, что в основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, данная пирамида является правильной, что и требовалось доказать.
б) 3) Из пропорций отрезков $\frac{DM}{MA} = \frac{DN}{NC} = \frac{1}{2}$ следует параллельность прямых: $MN \parallel AC$.
В треугольниках $DMN$ и $DAC$ угол $D$ общий, а $\angle DMN = \angle DAC$ как соответственные при параллельных прямых. Значит, $\triangle DMN \sim \triangle DAC$ по двум углам.
Коэффициент подобия равен: $\frac{DM}{AD} = \frac{DN}{DC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}$.
Тогда отношение площадей этих треугольников: $\frac{S_{DMN}}{S_{DAC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
Объем всей пирамиды вычислим по формуле: $V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot DO \cdot S_{ABC}$.
Найдем боковые ребра: так как $AC = 6 \sqrt{2}$ и треугольник $ADC$ прямоугольный равнобедренный, то $DC = AD = DB = 6$.
В треугольнике $DOC$ (где $O$ — центр основания) по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды:
$DO = \sqrt{DC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{6^{2} - \left(2 \sqrt{6}\right)^{2}} = \sqrt{36 - 24} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.
Площадь основания $ABC$: $S_{ABC} = \frac{(6 \sqrt{2})^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{72 \sqrt{3}}{4} = 18 \sqrt{3}$.
Тогда объем $V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 18 \sqrt{3} = 36$.
Заметим, что отношение объемов пирамид с общей вершиной $B$ и основаниями в одной плоскости (или через отношение площадей при общей высоте из $B$):
$\frac{V_{BDMN}}{V_{BDAC}} = \frac{S_{DMN}}{S_{ADC}} = \frac{1}{9}$.
Следовательно, $V_{BDMN} = \frac{36}{9} = 4$.
С другой стороны, объем $V_{BDMN}$ можно выразить через искомое расстояние $h$ от точки $D$ до плоскости $BMN$: $V_{BDMN} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{BMN}$.
Найдем стороны треугольника $BMN$. Так как $DM = \frac{1}{3} AD = 2$, то в $\triangle MDB$: $MB = \sqrt{DB^{2} + MD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.
Длина $MN = \frac{1}{3} AC = \frac{6 \sqrt{2}}{3} = 2 \sqrt{2}$.
Пусть $H$ — середина $MN$. В равнобедренном $\triangle MBN$ высота $BH$ по теореме Пифагора:
$BH = \sqrt{MB^{2} - MH^{2}} = \sqrt{40 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{38}$.
Площадь $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{38} \cdot 2 \sqrt{2} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$.
Искомое расстояние $h = \frac{3 V_{BDMN}}{S_{BMN}} = \frac{3 \cdot 4}{2 \sqrt{19}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$.

Ответ: б) $\frac{6}{\sqrt{19}}$

Источник: ФИПИ