Решение:

а) 1) По условию четырёхугольник $MB_{1}KD$ является ромбом, а в основании призмы лежит квадрат $ABCD$, следовательно, $AB = BC = CD = AD$.
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle B_{1}A_{1}M$, $\triangle B_{1}C_{1}K$, $\triangle KCD$ и $\triangle MAD$.
Согласно теореме Пифагора для этих треугольников справедливы равенства:
$$MB_{1}^{2} = A_{1}B_{1}^{2} + A_{1}M^{2}$$
$$B_{1}K^{2} = B_{1}C_{1}^{2} + C_{1}K^{2}$$
$$KD^{2} = KC^{2} + DC^{2}$$
$$MD^{2} = AM^{2} + AD^{2}$$
Учитывая, что у ромба все стороны равны ($MB_{1} = B_{1}K = KD = MD$), а стороны квадрата в основаниях равны, получаем равенство катетов:
$A_{1}M = MA = C_{1}K = KC$.
Это означает, что точка $M$ делит ребро $AA_{1}$ пополам, то есть является его серединой. Что и требовалось доказать.

б) Площадь основания $S_{ABCD} = 3$, откуда сторона квадрата $AB = \sqrt{3}$, а его диагональ $DB = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6}$.
Площадь ромба $S_{MB_{1}KD} = 6$. Воспользуемся формулой площади через диагонали: $S_{MB_{1}KD} = \frac{1}{2} \cdot DB_{1} \cdot MK$.
Так как $M$ и $K$ — середины боковых ребер $AA_{1}$ и $CC_{1}$ соответственно, отрезок $MK$ параллелен и равен диагонали основания $AC$, то есть $MK = AC = \sqrt{6}$.
Подставим значения в формулу площади: $6 = \frac{1}{2} \cdot DB_{1} \cdot \sqrt{6}$, откуда находим вторую диагональ ромба $DB_{1} = \frac{12}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle DB_{1}B$ по теореме Пифагора вычислим высоту призмы:
$BB_{1} = \sqrt{DB_{1}^{2} - DB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{6})^{2}} = \sqrt{24 - 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: б) $3\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ